\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
%\usepackage[dvips]{hyperref}
%\hypersetup{%
%pdfauthor = {APMEP},
%pdfsubject = {Brevet},
%pdftitle = {Sud-Vietnam juin 1965},
%allbordercolors = white,
%pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1965}
\rfoot{\small Sud-Vietnam}
\lfoot{\small juin 1965}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Sud-Vietnam  juin 1965 \decofourright}}
\\[8pt]\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\smallskip

Un triangle rectangle ABC, d'hypoténuse [BC] telle que BC $= 10$~cm a pour côté de l'angle droit [AB] teld que AB $= 6$~cm. On prend dut [BC] entre B et C, un point M variable défini par son abscisse $\overline{\text{BM}} = x$.

On mène par M la parallèle à (AB) ; elle coupe (AC) en N.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Évaluer, en fonction de $x$, le périmètre $y$ du quadrilatère ABMN  et le périmètre $z$ du triangle MCN.
\item Construire les graphes des variations de $y$ et $z$ en fonction de $x$ quand M  décrit le segment [BC]. Limiter ces graphes.

Pour cette construction on prendra pour unité 1 cm sur O$x$ et 0,5~cm sur O$y$.
\item Utiliser ces graphes pour trouver la valeur de $x$ pour laquelle les deux périmètre $y$ et $z$ sont égaux.

Vérifier par le calcul.

Peut-on déterminer graphiquement la position de M pour laquelle $y$ et double de $z$ ?

Vérifier par le calcul.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

On donne  deux cercles, de centres O et O$'$, de rayons $E$ et $\dfrac{R}{2}$,
 tangents extérieurement en A.
 
Une droite variable pivote autour de A et recoupe le premier cercle en B, 
le deuxième en B$'$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les directions (OB) et (O$'$B$'$).
\item (O$'$B$'$) recoupe le cercle (O$'$) en C et (BC) coupe le
prolongement de OO$'$ en S.

Préciser la position de S sur la droite OO$'$.
\item On mène (ST), tangente issue de S au cercle (O).

Démontrer que (ST) est tangente au cercle (O$'$) en T$'$, point 
dont on précisera la position sur (ST).
\item Évaluer ST et ST$'$ en fonction de $R$.
\end{enumerate}
\end{document}