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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1965}
\rfoot{\small Sud-Vietnam}
\lfoot{\small septembre 1965}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Sud-Vietnam septembre 1965 \decofourright}}
\\[8pt]\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Trouver deux nombres proportionnels à 3 et 5, sachant que leur différence est 4.
\item On désigne par $x$ et $y$ deux nombres relatifs proportionnels à $3$ et $5$.

Exprimer $y$ en fonction de $x$.

Construire le graphe des variations de $y$ quand $x$ varie.

Trouver, à l'aide de ce graphe et d'un autre graphe, que l'on construira, la solution graphique de la question 1.
\item Déterminer $x$ et $y$, sachant que ces deux nombres vérifient la relation $7x - 3y - 3 = 0$ et qu'ils sont, en outre, proportionnels à $3$ et $5$.

On donnera d'abord la solution graphique de cette question, puis on vérifiera par le calcul.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

On donne un cercle de centre O, de rayon $R$, un diamètre [AB] de ce cercle et un point C situé sur (AB),
au-delà de B, tel que BC $= \dfrac{R}{2}$.

Soit $(D)$ la droite perpendiculaire à (AC) en C.

Une droite variable pivote autour de A et coupe le cercle (O) en M et la droite $(D)$ en N.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Établir la relation 
\[\overline{\text{AM}} \cdot \overline{\text{AN}} = \overline{\text{AB}} \cdot \overline{\text{AC}}.\]

En déduire la longueur  AM en fonction de $R$ si AN $= 2R\sqrt 5$.
\item Dans cette hypothèse, calculer MB, NC, MN et BN.
\item La sécante AMN étant quelconque, que peut-on dire du quadrilatère MBCN ?

Soit I le milieu (variable) de [BN].

Démontrer que I appartient à une droite fixe, que l'on précisera.
\end{enumerate}
\end{document}