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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Sud-Vietnam septembre 1970~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère les fractions rationnelles suivantes :
\begin{center}$F_1(x) = \dfrac{x - x^2}{1 - x^2}$\quad et $F_2(x) = \dfrac{1 + x}{1 - 2x + x^2}$.\end{center}

Pour quelles valeurs de $x$ sont-elles définies ? 

Simplifier ces fractions.
\item Calculer l'expression
\[E(x) = F_1(x) + F_2(x)- \dfrac{1 - 2x}{1 - x}.\]

\item Calculer les valeurs numériques de $E(x)$.
	\begin{enumerate}
		\item pour $x = 0$,
		\item pour $x = \sqrt 3$,
		\item pour $x = 2 \sqrt 5$.
		
Dans ces deux derniers cas donner une valeur approchée de $E(x)$, à 0,01 près.
	\end{enumerate}
\item Dans un repère orthonormé, en prenant 2~cm comme unité de longueur, construire les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$  représentant graphiquement les fonctions définies respectivement par
\begin{center}$y = 1 - 2x$\quad  et \quad  $y  = x - 1$\end{center}

et déterminer les coordonnées du point commun à $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On considère un angle aigu $\widehat{x\text{O}y}$ de mesure égale à $30\degres$.

Sur O$x$ on place les points A et B tels que OA $= 2\ell$ et OB $= 3\ell$ ($\ell$ étant une longueur donnée).

La perpendiculaire en B à O$x$ coupe O$y$ en C et la projection orthogonale de A sur O$y$ est D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs des segments [AD] et [OD]
en fonction de $\ell$.
\item Montrer que le quadrilatère ABCD est inscriptible
dans un cercle, dont on précisera la position du centre, I.

En déduire la mesure de [OC] et la nature du triangle OAC.
\item Calculer le rayon du cercle circonscrit au quadrilatère ABCD et la longueur du segment [OI] en fonction de $\ell$.
\end{enumerate}
\end{document}