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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Syrie (Damas)}}
\rfoot{\small{septembre 1955}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Syrie (Damas) septembre 1955}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer l'identité
\[ab= \dfrac14 \left[(a + b)^2 - (a - b)^2\right].\]
\item On considère quatre nombres $r,\: t,\: u,\: v$, leur somme $2p$ et le nombre $s$ défini par
\[2s= rv +ut.\qquad (1)\]

Montrer que

\[2s = (p - r) (p - v) + (p - t)(p - u).\]
\item On suppose que $r, t, u, v$ vérifient en outre la relation
\[r^2 + v^2 = u^2 + t^2.\]

Montrer que
\[(p - r) (p - v) = (p - u) (p - t).\]

\item Représenter graphiquement, à l'aide de deux axes de coordonnées rectangulaires O$x$ et O$y$, la relation $y = p - x$, où $p$ désigne une constante.

$p$ ayant la signification du 2., on suppose $r = v,\: u = 3,\: y = 4$.

Indiquer de façon précise la position de points $(x~;~y)$ dont les abscisses sont respectivement $r,\: t,\: u,\: v$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Deux cercles  $(\mathcal{I})$ et $(\mathcal{J})$ de même rayon $a$, de centres respectifs I et J, sont tangents en B.

La droite (IJ) les coupe respectivement en A et B et en B et C.

Une sécante $(D)$ passant par A coupe $(\mathcal{I})$ en A et P et $(\mathcal{J})$ en Q et R.

Les perpendiculaires à $(D)$ en Q et R coupent (AC) en Q$'$ et R$'$ respectivement.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que J est le milieu de [Q$'$R$'$].

En déduire le lieu du milieu K de [QR] quand la sécante (APR) varie.
\end{enumerate}
\emph{Dans la suite du problème la sécante $(D)$ est menée de façon que} PQ = QR.

\begin{enumerate}[resume]
\item Dans quel rapport Q$'$ divise-t-il [BJ] ?

Montrer que AP = 3QR.
\item Calculer AQ$'$ en fonction de $a$ et donner, d'après cela, une construction géométrique de la sécante (APQ).
\end{enumerate}
\end{document}