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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lfoot{\small{Syrie}}
\rfoot{\small{juin 1956}}
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\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle juin 1956~\decofourright\\[7pt]
Syrie}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Deux personnes habitent l'une la ville A, l'autre la ville B, distantes de $200$ ~kilomètres.

Elles se donnent rendez-vous en un point M de la route AB, situé entre A et B et tel que AM $= x$,\: $x$ étant mesuré en kilomètres.

Elles s'y rendent en automobile. La voiture de la première personne, qui habite A, consomme $6$~litres d'essence aux $100$~kilomètres, et celle de la deuxième $9$~litres aux $100$~kilomètres.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ les quantités $y_1$ et $y_2$ d'essence (exprimées en litres) que consomment les deux voitures pour aller respectivement de A en M et de B en M.
\item Étudier les variations des deux fonctions $y_1$ et $y_2$  en fonction de $x$.

Représentation graphique (sur l'axe des abscisses, $20$~km seront représentés par 1 cm et sur l'axe des ordonnées $2$~l seront représentés par 1 cm).
\item Comment doit-on choisir le point M pour que les deux voitures consomment la même quantité d'essence ?

Vérifier sur le graphique la solution trouvée par le calcul.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un demi-cercle, limité par le diamètre [AB]  de longueur 8 cm.

O est le milieu de [AB]. La perpendiculaire menée par O à [AB] coupe le demi-cercle en C.

I est un point du segment [OC]. (AI) coupe le demi-cercle en M.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les triangles AMB et AOI sont semblables.

En déduire que le produit AI $\times$ AM a une valeur constante, que l'on calculera.
\item Dans le cas particulier où OI $= 3$~cm, calculer AI, AM et AH, H étant la projection orthogonale de M sur (AB).
\item I est à nouveau un point quelconque du segment [OC].

Soit N la projection orthogonale de O sur (AM).

(BN) coupe (OM) en K. Que représente le point K pour le triangle AMB ?

Trouver le lieu du point K lorsque 1 décrit le segment [OC].
\end{enumerate}
\end{document}