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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\small }
\lhead{\small L'année 1957}
\rfoot{\small }
\lfoot{\small juin 1957}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Liban et Syrie juin 1957 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier les fractions suivante 

\begin{center}$P =  \dfrac{2}{1 + x}  - \dfrac{1}{1 - x}$\quad  et \quad $Q =\dfrac{1}{1+x}  + \dfrac{1}{1 - x}$.\end{center}

Calculer $y = \dfrac{P}{Q}$.

Construire, par rapport à deux axes de coordonnées rectangulaires O$x$et O$y$, la droite $(D)$
représentative de la fonction $y$.

On désigne par A et B les points où cette droite coupe respectivement O$x$ et O$y$.

Déterminer les coordonnées de A et de B.
\item Soit C le point symétrique de A par rapport à B.

Donner les coordonnées de C.

Trouver l'équation de la droite $(D')$ passant par le point C et qui est perpendiculaire à $(D)$.

Elle coupe O$x$ et O$y$ respectivement en E et F{}.

Déterminer les coordonnées de ces points.
\item La droite (EB) coupe la droite (AF) en un point I.

Que peut-on dire du quadrilatère BIFC ?
\item Une parallèle à l'axe O$x$ d'équation $y = m$ coupe $(D)$ en M et $(D')$ en M'.

Calculer $z = \overline{\text{M}'\text{M}}$ en fonction de $m$.

Comment choisir $m$ pour que :
\begin{enumerate}
\item $z = 0$,
\item $z =\dfrac{13}{6}$.

Vérifier les résultats sur le graphique.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Soit ABC un triangle rectangle, [AH] la hauteur relative à l'hypoténuse [BC].

Montrer que

\begin{center}(1)\qquad  AH $\times$ BC = AB $\times$ AC.\end{center}
En partant du théorème de Pythagore et en utilisant la relation (1) montrer que l'on a 

\[(2) \qquad  \dfrac{1}{\text{AH}^2}  = \dfrac{1}{\text{AB}^2} + \dfrac{1}{\text{AC}^2}.\]

\item On considère un segment [MN] de longueur $2a$, de milieu O.

On trace deux demi-axes N$x$ et M$y$ perpendiculaires à [MN] et de même sens.

On prend un point I sur N$x$, tel que IN $= x$.

Soit (OJ) la droite perpendiculaire en O à (OI), qui rencontre M$y$ en J.

On pose MJ $= y$. Calculer les longueurs OI et OJ.

Montrer que
\[(3)\qquad  xy = a^2.\]

\item  En appliquant la relation (2) au triangle rectangle IOJ et en utilisant la relation (3), calculer la longueur de la hauteur [OH] issue de O dans le triangle IOJ.

En déduire le lieu du point H.

Calculer la longueur IJ.
\end{enumerate}
\end{document}