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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Syrie}}
\rfoot{\small{juin 1954}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large \decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Syrie juin 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation

\[\dfrac{\dfrac{5}{3x} - \dfrac47}{\dfrac{3}{9}} = \dfrac{a}{4x}\]

où $x$ désigne l'inconnue et $a$ un nombre connu.
\item Valeur numérique de $x$ pour $a = 7,5$.
\item Sachant que $a$ peut prendre toute valeur comprise entre 0 et 10, quelles sont les valeurs entières possibles pour $x$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un segment [AC] de milieu B (AB = BC $= a$).

Soit $(D)$ la perpendiculaire à (AC) en C.

On mène une droite (AM), qui coupe $(D)$ en M, puis la droite (BN) perpendiculaire à (AM), qui coupe $(D)$ en N et (AM) en P{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la droite (BM) est perpendiculaire à (AN).
\item Si l'on désigne par Q le point de rencontre de (BM) et (AN), démontrer que, lorsque M varie sur $(D)$, P et Q ont pour lieu géométrique un même cercle, dont on précisera la position.
\item Démontrer que les triangles ACM et BCN sont semblables.

En déduire que 
\begin{center}CM $\cdot$ CN $= 2a^2$.\end{center}

Construire la figure, sachant que CN est le double de CM.
\end{enumerate}
\end{document}