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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Tahiti}}
\rfoot{\small{juin 1962}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Tahiti juin 1962}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT.
\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On donne le polynôme

\[(1) \quad E(x) = x^2(y - z) + y^2(z - x) + z^2(x - y).\]

On remplace $y$ par $a + z$ et $x$ par $z - b$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est l'expression de $E(x)$ en fonction de $a$ et de $b$ ?
		\item Décomposer cette expression en un produit de facteurs ne comprenant que des fonctions de $a$ et $b$.
		\item Revenant à l'expression (1), la mettre sous la forme d'un produit de trois facteurs du premier degré, fonctions de $x,\: y,\: z$.
	\end{enumerate}	
\item Décomposer en produits de facteur 

\[\begin{array}{l c l}
A(x)&=& \left(x^2 - 3x + 2\right)^2 - \left(2x^2 - 3x + 1\right)^2\:\:\text{ et}\\
B(x)&=&\left(x^2 - 4x + 3\right)^2 - \left(3x^2 - 4x + 1\right)^2.
\end{array}\]

Simplifier la fraction $\dfrac{A(x)}{B(x)}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\vspace{1cm}

Soit un cercle de diamètre [AB], de centre O.

Dessiner [AB] parallèle au petit côté de la feuille, A à gauche.

Soit C un point situé sur le segment [OB] entre O et B.

Une sécante passe par C et forme avec (AB) un angle de $45\degres$.

Elle coupe le cercle en M et M$'$ (M au-dessus du diamètre). $\widehat{\text{BCM}} = 45\degres$.

La perpendiculaire menée de M$'$ sur (AB) coupe le cercle en P.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les angles $\widehat{\text{MOP}}$ et $\widehat{\text{MCP}}$ sont droits.
\item C variant sur [OB], quelle ligne décrit le milieu du segment [MP] ?

Quelle ligne décrit le sommet Q du carré OMQP de diagonale [MP] \footnote{Cette question 2. a été supprimée au cours de l'examen parce que n'étant pas au programme de l'enseignement long.}?
\item La perpendiculaire à (AB) en C coupe le demi-cercle AMB en K.

Montrer que 
\begin{center}CM $\times$ CP = CK$^2$.\end{center}
\item Montrer que la droite (CK) passe par Q.
\end{enumerate}
\end{document}