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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1965}
\rfoot{\small Tahiti}
\lfoot{\small juin 1965}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Tahiti  juin 1965 \decofourright}}
\\[8pt]\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\smallskip

Soit l'expression
\[E(x) = (2x + 1)(x - 2)- (2x + 1)^2 + 4x^2 - 1.\]

\begin{enumerate}
\item La mettre sous forme d'un produit de facteurs du premier degré.

Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $E(x) = 0$ ?
\item L'écrire sous forme d'un polynôme réduit et ordonné, en partant, soit de l'expression donnée, soit de celle trouvée à la question 1.
\item Simplifier la fraction rationnelle

\[F(x) = \dfrac{2x^2 - 7x - 4}{x^2 - 8x + 16}.\]

Calculer $x$ pour que l'on ait $F(x) = 1$. 
\item On donne les fonctions
\begin{center}$y_1 = 2x + 1$ \qquad et \qquad $y_2 = x - 4$.\end{center}
et deux axes rectangulaires, sur lesquels l'unité choisie est le centimètre.

Tracer les graphes $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ des deux fonctions.

Montrer que ces graphes ont un point commun, qu'on déterminera.

Expliquer pourquoi on retrouve la valeur de $x$ trouvée au 3.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit un trapèze ABCD, rectangle en A et D, tel que le triangles ABD et BCD soient isocèles et rectangles respectivement en A et B.

On donne BC $= a$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AB et AC en fonction de $a$.
\item Le cercle $\wideparen{\text{BDC}}$ coupe (AC) en E.

Démontrer que AE $\cdot$ AC = AD$^2$.

Calculer AE en fonction de $a$.
\item Par E on mène la parallèle à (AB), qui coupe (BC) en F.

On projette orthogonalement sur (DC) le point E en G et le point F en H.

Calculer EF et EG.

Montrer que EFHG est un carré.
\end{enumerate}
\end{document}