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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Tahiti  juin 1968~\decofourright}\\[7pt] ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

Soit les expressions
\[\begin{array}{l c l}
A(x) &=& (5x - 1)(2x + 3) - 25x^2 + 1 - (10x- 2)(3x + 2)\:\text{ et}\\
B(x) &=& -18x^2 - 27x - 2(2x + 3).
\end{array}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre chacune d'elles sous forme d'un polynôme réduit et ordonné suivant les puissances décroissantes de $x$.

Donner la valeur numérique de chacune d'elles pour $x = 0$.
\item Mettre chacune d'elles sous la forme d'un produit de deux facteurs du premier degré en $x$.
\item On considère la fraction $\dfrac{A(x)}{B(x)}$.

Pour quelles valeurs de $x$ est-elle définie?

Montrer qu'elle peut alors se mettre sous la forme $\dfrac{5x - 1}{2x + 3}$.
\item Soit $F(x)$ la fraction obtenue à la question 3.

Pour quelle valeur de $x$ cette fraction n'a-t-elle pas de sens ?

Pour quelle valeur de $x$ est-elle égale à 1 ? ; à 0 ?
\item Représenter, sur un même graphique, les fonctions $y_ = 5x - 1$ et $y_2 = 2x + 3$.

Pourquoi l'abscisse du point, P de rencontre des deux droites représentatives de ces fonctions est-elle égale à l'un des résultats de la question 4. ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne une demi-droite [A$y$), sur laquelle on porte les segments fixes [AB] et [AE] de longueurs AB $= 30$~mm et AE $= 100$~mm.

Une demi-droite [A$y$) tourne autour de A.

Sur cette demi-droite, on porte les segments [AC] et [AD] de longueurs AC $= 50$ mm et AD $= 60$ mm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Que peut-on dire des triangles ABC et AED ?

Que peut-on dire du quadrilatère BCDE ?
\item On mène les tangentes AT et AT$'$ au cercle circonscrit au triangle BDE.

Calculer AT et AT$'$.

Montrer que les points T et T$'$ restent sur un cercle fixe pendant le déplacement de [A$y$),
\item On donne, en plus, BC $= 40$~mm. 

Construire une nouvelle figure exacte.

Que peut-on dire du triangle ABC ?, du triangle ADE ? 

Calculer ED, EC et le rayon du cercle circonscrit au triangle BDE.
\item On mène par B le segment [BF] perpendiculaire à (DE).

Calculer BF, FE, DF et l'aire du quadrilatère ABFD.
\end{enumerate}
\end{document}