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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Tahiti juin 1972~\decofourright}}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip


\begin{enumerate}
\item On donne le système d'équations suivant : 
\[\left\{\begin{array}{l l c l}
(1)& \dfrac x2 - y &=& 2,\\
(2)& 3x - 2y &=& 6.
\end{array}\right.\]

Le couple (6~;~1) est-il solution de la première
équation ?

Le  couple (3~;~- 2) est-il solution de la seconde équation ?

Résoudre le système des deux équations.
\item Construire la droite $\left(D_1\right)$ d'équation
\[y = \dfrac x2 - y\]

et la droite $\left(D_2\right)$ d'équation
\[y = - \dfrac32 x  + 3.\]
\item Soit le point M  de coordonnées (+ 4~;~3).

Quelle est l'équation de la droite $\left(D_3\right)$ parallèle à $\left(D_2\right)$ et passant par M ?
\item Calculer les coordonnées du point P tel que l'on ait
\[\vect{\text{OM}} = 3\vect{\text{OP}}.\]

Que peut-on dire du point P ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne un triangle (ABC) isocèle et rectangle en A.

Soit H le pied de la hauteur issue de A.

On trace la médiane [BM] et on la prolonge d'une longueur MP égale à la moitié de celle de [AC].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle (APC) est rectangle et que le quadrilatère (APCH) est inscriptible dans un cercle de centre M.
\item Ce cercle recoupe (BP) en Q.

Préciser la nature du quadrilatère (APCQ).
\item On désigne par $R$ le rayon du cercle circonscrit au quadrilatère (APCH).

Calculer, en fonction de $R$, la puissance du point B par rapport à ce cercle, puis la mesure du segment [BM].
\item La tangente en P au cercle coupe (AB) en S et (AC) en T.

Démontrer que les triangles (ABM) et (ATS) sont semblables et calculer le rapport de similitude du triangle (ATS) au triangle (ABM).
\end{enumerate}
\end{document}