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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Tahiti}}
\rfoot{\small{septembre 1962}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Tahiti septembre 1962}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT.
\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\vspace{1cm}

On donne les polynômes

\[\begin{array}{l c l}
P(x)&=&x^4 - 6x^2 + 5 \:\:\:\text{et}\\
Q(x)&=&\left(x^2 - 3\right)^2.
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $R(x) = Q(x) - P(x)$.
\item Se servir du résultat pour mettre $P(x)$ sous forme d'une différence de carrés.

Décomposer $P$ en un produit de quatre facteurs du premier degré.
\item On donne les polynômes
\[\begin{array}{l c l}
P'(x)&=&x^4 + 4 \:\: \:\text{et}\\
Q'(x)&=&\left(x^2 + 2\right)^2,
\end{array}\]

Calculer $R'(x) = Q'(x) - P'(x)$.

Se servir du résultat pour mettre $P'(x)$ sous forme d'un produit de deux facteurs du second degré.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Soit un triangle ABC rectangle en A. Soient M un point variable sur l'hypoténuse [BC], P la projection de M sur (AB), Q la projection de M sur (AC).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour quelles positions de M le triangle MPQ est-il semblable au triangle ABC (on remarquera que la considération du triangle APQ simplifie le problème) ?
\item Pour chacune de ces positions, évaluer les longueurs des côtés, la longueur de la hauteur et la surface du triangle MPQ en fonction des côtés, $a,\: b,\: c$, de ABC $\left(a = \sqrt{b^2 + c^2}\right)$.
\item Construire le point M de façon que la droite (PQ) soit parallèle à une direction donnée.

Discuter.
\item Construire le point M de façon que le triangle MPQ soit semblable à un triangle rectangle donné A$'$B$'$C$'$.
\item Construire M, sachant que PQ a une longueur $\ell$ donnée.

Discuter.
\end{enumerate}
\end{document}