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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1964}
\rfoot{\small Tahiti}
\lfoot{\small septembre 1964}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Tahiti septembre 1964 \decofourright}}
\\[8pt]\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\medskip

\begin{center}\textbf{\large ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier les fractions rationnelles suivantes :
\[A(x) = \dfrac{8x - 8x^2}{8x}, \qquad B(x) = \dfrac{2x^2 +20x + 50}{4x + 20}.\]

\item Résoudre algébriquement le système suivant : ~ 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x + \phantom{2}y - 1 &=& 0,\\
x - 2y + 5&=&0.
\end{array}\right.\]

\item Dans un système d'axes rectangulaires $x\text{O}x$ et $y\text{O}y$, avec le centimètre pour unité, tracer les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ qui ont respectivement pour équation
\[\left(D_1\right)\quad  x + y - 1 = 0,\quad \left(D_2\right)\quad  x - 2y + 5 = 0.\]

Vérifier sur le graphique les résultats de la question 2.
\item Soit P le point d'intersection des droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$.

Former l'équation de la droite (OP).
\item Former l'équation de la droite parallèle à la droite $\left(D_2\right)$ et passant par le point Q de coordonnées (6~;~2).
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{\large GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

Soit un triangle isocèle ABC :
\begin{center}AB = AC $= a; \quad \widehat{\text{A}} = 5\degres$.\end{center}

Soit D le symétrique de B par rapport à (AC).

(BD) coupe (AC) en I. Soit O le centre du cercle circonscrit à ABC.

Ce cercle coupe (BD) en E et (AD) en F.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature des triangles AIB et IEC ?

Calculer BD, IC, EC, en fonction de $a$.
\item Montrer que les points B, O, F sont alignés.

La droite qui les porte coupe (AC) en K ; montrer que le triangle BKC est isocèle.

Calculer CK en fonction de $a$.
\item Montrer que les triangles ABC et BKC sont semblables ; en déduire que

\begin{center}BC$^2 =$ AB $\times$ CK.\end{center}

Calculer BC en fonction de $a$.
\end{enumerate}
\end{document}