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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1965}
\rfoot{\small Tahiti}
\lfoot{\small septembre 1965}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Tahiti septembre 1965 \decofourright}}
\\[8pt]\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\smallskip

Soit deux axes perpendiculaires, sur lesquels on choisit le centimètre pour unité.

On considère les fonctions
\begin{center}$y = - 2x$,\qquad $y = \dfrac43 x$\qquad  et\qquad $y = \dfrac x2 + 5$.\end{center}

\begin{enumerate}
\item Construire les graphes, $\left(D_1\right), \: \left(D_2\right), \: \left(D_3\right)$,  de ces fonctions.

Quelle est leur nature ? 

Vérifier que A$(- 2~;~+4)$ est à la fois sur $\left(D_1\right)$ et $\left(D_3\right)$.
\item Calculer les coordonnées du point, B, d'intersection de $\left(D_1\right)$ et $\left(D_3\right)$. 

Vérifier graphiquement.

Calculer la mesure exacte des longueurs OA, OB, AB, puis leurs mesures approchées à $1$~mm près.

Déduire du calcul que le triangle OAB est rectangle.
\item Calculer les coordonnées du milieu, I, de [OB].

En déduire la direction de la médiane [AI] du triangle OAB.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

On trace un cercle (O),de centre O de rayon $R$, ainsi que deux diamètres perpendiculaires, [AB] et [CD].

Soit E un point du rayon [OC] ; la droite (AE) recoupe (O) en F{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les triangles AOE et AFB sont semblables. 

En déduire que le produit $\overline{\text{AE}} \cdot \overline{\text{AF}}$ a une valeur constante, que l'on calculera.
\item La parallèle à (AB) passant par E coupe le rayon [OF] en G.

Démontrer que le triangle EFG est isocèle.
\item Démontrer que le cercle (G) de centre G et de rayon [GF] est tangent au cercle (O) et au diamètre [CD].
\item Calculer l'angle $\widehat{\text{EAO}}$ dans le cas où FB $= R$.

Faire la figure correspondante et calculer dans ce cas AE, OE, AF.
\end{enumerate}
\end{document}