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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small Téhéran}
\lhead{\small L'année 1957}
\rfoot{\small }
\lfoot{\small juin 1957}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Téhéran juin 1957 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip

On donne deux axes de coordonnées $x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire, en prenant 1 cm pour unité, la droite
d'équation

\[y = - \dfrac x2 + 2.\]

\item On désigne pan A le point où cette droite coupe l'axe $x'x$ et par B le point où elle coupe l'axe $y'y$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du milieu M du segment [AB].
		\item Former l'équation de la médiane (OM) du triangle OAB.
	\end{enumerate}
\item Former l'équation de la droite passant par le point A et parallèle à la droite (OM).

Déterminer l'ordonnée du point C où elle coupe l'axe $y'y$.

Déterminer, à 1 mm près, sur le graphique et par le calcul, la mesure du segment [CM].
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

Deux cercles $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{C}')$ de centres O et O$'$ sont tangents extérieurement en A.

On mène la tangente commune intérieure et une tangente commune extérieure (BC).

Ces deux droites se coupent en M.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que MA = MB = MC et en déduire la nature du triangle ABC.
\item La droite (BA) coupe le cercle $(\mathcal{C}')$ en D, et la droite (CA) coupe le cercle $(\mathcal{C})$en E.

Montrer que [BE] et [CD] sont respectivement les diamètres des cercles $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{C}')$.

Préciser la nature du quadrilatère BCDE.
\item Comparer les deux triangles BCD et BCE.

Démontrer la relation 
\begin{center}BC$^2=$ BE $\times$ CD.\end{center}

Calculer l'aire du quadrilatère BCDE lorsque les rayons dos cercles $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{C}')$ sont respectivement OA $= 4,5$~cm et O$'$A $= 2$ cm.

Déterminer la mesure du côté [DE].
\end{enumerate}
\end{document}