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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Téhéran}}
\rfoot{\small{juin 1954}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large \decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Téhéran juin 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre graphiquement le système
\[(1)\qquad\left\{\begin{array}{l c l}
y -2x + 3 &=& 0,\\
y + \phantom{2}x -2 &=& 0.
\end{array}\right.\]

\item Vérifier par le calcul, en résolvant le système (1), les résultats obtenus graphiquement.
\item On désigne par A le point de rencontre des deux droites correspondant aux équations du système et l'on considère le point B(0~;~2).

Former l'équation de la droite (AB).

Quel angle fait-elle avec la droite d'équation $y - 2x + 3 = 0$ ?
\item Par le point de coordonnées $(-1~;~1)$, on mène la parallèle à la droite d'équation $y - 2x + 3 = 0$.

Former l'équation de cette parallèle.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Tl considère un demi-cercle de centre O et de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$.

Soit C le milieu de l'arc $\widearc{\text{AB}}$.

M étant un point quelconque de l'arc $\widearc{\text{AB}}$, on trace les droites (OC) et (AM), qui se coupent en N.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Que peut-on dire du quadrilatère OBMN ?

Démontrer la relation 
\begin{center}AM $\times$ AN $= 2R^2$.\end{center}

\item Déterminer la mesure, en degrés, de l'angle $\widehat{\text{MAB}}$ lorsque l'on a ON = NM.
\item On prend le point M au milieu de l'arc $\widearc{\text{BC}}$.

Démontrer qu'en ce cas le triangle BMN est isocèle.

Dans ce même cas, calculer, en fonction de $R$, l'aire du triangle AMB.

\emph{Application numérique} : $R = 5$~cm.
\end{enumerate}
\end{document}