\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B.E.P.C.},
pdftitle = {Téhéran juin 1958},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Téhéran}}
\rfoot{\small{juin 1958}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Téhéran juin 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire sur un même graphique les droites d'équation :

\[\begin{array}{l l c l}
(d)\qquad &y&=&\dfrac{-x}{2}+ 2,\\
(d')\qquad &y &=& 2x - 3.
\end{array}\]

(On prendra le centimètre pour unité.)

Calculer les coordonnées de leur point de rencontre, A.
\item Les droites $(d)$ et $(d')$ coupent l'axe $y'$O$y$ respectivement aux points B et C, dont on calculera les ordonnées.

Par le point B on mène la droite $(D)$ parallèle à la droite $(d')$.

Former son équation.
\item Par le point C on mène la droite $(D')$ perpendiculaire à la droite $(d')$.

Former son équation.

Déterminer les coordonnées du point E de rencontre des droites $(D)$ et $(D')$.
\item Préciser la nature du quadrilatère ABCE et calculer son aire.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Dans un triangle ABC on mène la bissectrice [AD) de l'angle $\widehat{\text{A}}$, puis au point B on trace, à l'extérieur du triangle, une droite BX qui forme avec le côté [BC] un angle

\[\widehat{\text{CBX}} = \dfrac{\widehat{\text{BAC}}}{2}.\]

La droite BX coupe en E le prolongement de [AD].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le point E se trouve sur le cercle circonscrit au triangle ABC.
\item Montrer que les deux triangles ABE et EBD sont semblables.
Établir la relation 
\begin{center}ED $\times$ EA = EB$^2$.\end{center}
\item La tangente en A au cercle circonscrit au triangle ABC coupe le prolongement du côté [BC] en M.

Démontrer que le triangle MAD est isocèle.
\end{enumerate}
\end{document}