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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Tel Aviv}}
\rfoot{\small{juin 1962}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Tel Aviv juin 1962}}

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT.

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Sur un plan où 1 cm représente $10$~m, un champ est représenté par un triangle ABC dont les sommets ont pour coordonnées, en centimètres,
\begin{center}A$(3~;~-2)$,\qquad B$(-2~;~-2)$,\qquad C(0~;~4).\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter ce champ.

Déterminer l'équation de la droite (AC) qui limite le champ sur le plan.
\item On veut construire une route, limitée sur le plan par les droites d'équations

\begin{center}$y = \dfrac12 x - 1$\qquad  et \qquad $y = \dfrac12 x - \dfrac72.$\end{center}

Représenter cette route.

Montrer qu'une des droites qui la limite passe par A ; déterminer les coordonnées du point d'intersection, E, de l'autre droite avec (AC) et montrer qu'elle passe par B.
\item La route emprunte une portion du champ, qui est représentée sur le plan par le triangle ABE.

Montrer que ce triangle est rectangle et calculer en mètres carré la surface du champ qui lui correspond.
\item Sur le plan, quel est l'orthocentre du triangle ABC ?

Déterminer ses coordonnées.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
{\large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Sur une demi-droite [A$x$), placer, dans cet ordre, trois points O, B et C tels que AO $= a$, 

AB $= 2a$, AC $= 3a$, \:$a$ étant une longueur donnée.

En O, construire la perpendiculaire (O$y$) à [A$x$) et prendre sur cette perpendiculaire un point D tel que OD $= a$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AD et DC en fonction de $a$.
\item La perpendiculaire menée de B à la droite (DC) coupe cette droite en H.

Montrer:
	\begin{enumerate}
		\item que les quatre points D, O, B, H appartiennent à un cercle, dont on précisera la position du centre, I, et la mesure du rayon en fonction de $a$ ;
		\item que la droite (AD) est tangente au cercle (I) ; 
		\item que [HO) est bissectrice de l'angle $\widehat{\text{DHB}}$.
	\end{enumerate}
\item Établir les égalités
\begin{center}
$\overline{\text{AD}}^2 =$ AO $\times $ AB,\\[5pt]
CH $\times $ CD = CO $\times $ CB \end{center}

et calculer AI et CI en fonction de $a$.
\end{enumerate}
\end{document}