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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Tel-Aviv}}
\rfoot{\small{octobre 1957}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Tel-Aviv octobre 1957}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Dans un carré ABCD de côté $4$~cm, on joint le sommet A à un point M du côté [BC] et l'on désigne par $x$ la mesure en centimètres du segment [BM].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en fonction de $x$, l'aire $S$ du triangle ABM et l'aire $Y$ du trapèze ADCM.
\item Déterminer $x$ pour que $S = Y$.
\item Déterminer $x$ pour que $Y$ soit les $\dfrac35$ de $S$.
\item $S$ et $Y$ définies dans la question 1. sont des fonctions de $x$.

Étudier les variations de $Y$, puis de $Z = \dfrac53 S$ quand M décrit [BC].

Représenter sur un même graphique les variations de $Y$ et de $Z$ et retrouver sur le graphique le résultat de la question 3.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

On donne un cercle $\mathcal{C}$ de rayon $R = 18$ cm et un point P tel que OP $= 30$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Trouver la position d'un diamètre [MN] du cercle $\mathcal{C}$ tel que le triangle PNM soit rectangle en M.

Calculer le périmètre et l'aire de ce triangle.
\item Trouver la position du diamètre [MN] tel que les angles en M et N du triangle PMN soient égaux.

Montrer qu'alors le triangle PMN a la plus grande aire possible.

Calculer cette aire.
\item Dans ce dernier cas, calculer le rayon du cercle circonscrit au triangle PMN.
\end{enumerate}
\end{document}