\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
%\usepackage[dvips]{hyperref}
%\hypersetup{%
%pdfauthor = {APMEP},
%pdfsubject = {Brevet},
%pdftitle = {Thaïlande--Viet-Nam juin 1979},
%allbordercolors = white,
%pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Thaïlande--Viet-Nam}
\lfoot{\small juin 1979}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Thaïlande--Viet-Nam juin 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

On considère les applications $f$ et $g$ définies dans $\R$ telles que
\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&3(x  - 2)^2 - 4 + x^2-(x + 5)(2 - x),\\
g(x)&=&(3x - 1)^2 - (2x + 1)^2.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
		\item En utilisant ce développement, calculer
$f\left(-\dfrac23\right),\:f\left(-\dfrac15\right)$ et $f\left(\sqrt 2 + 2\right)$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous la forme de produits de facteurs du premier degré.
		\item Trouver les antécédents par $g$ de $0$.
		\item En déduire que l'application $g$ n'est pas bijective.
	\end{enumerate}
\item Soit $h$ la fonction rationnelle, de $\R$ vers $\R$, définie par
\[h(x) = \dfrac{(x - 2)(5x + 1)}{5x(x - 2)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer son ensemble de définition.
		\item Simplifier $h(x)$.
		\item Résoudre, dans R, les équations
\begin{center}$h(x) = 0$\quad  et \quad  $h(x)= 1$.\end{center}
	\end{enumerate}
\item Dans un plan muni d'un repère cartésien \Oij, construire les droites d'équations
\begin{center}$y = 5x + 1$\quad  et \quad $y = 5x$.\end{center}

Quel résultat précédent peut être vérifié graphiquement ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans un plan euclidien rapporté à un repère orthonormé \Oij{} on considère les points suivants définis par leurs coordonnées :

\begin{center}A$(-2~;~2)$,\qquad  B$(-3~;~2)$,\qquad  C(6~;~0) \quad et \quad D(0~;~10).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B, C et D.
\item Calculer les coordonnées (ou composantes) des vecteurs $\vect{\text{AB}},\: \vect{\text{AC}},\: \vect{\text{AD}}$ et $\vect{\text{BC}}$.
\item Prouver qu'il existe un réel $k$ qu'on déterminera tel que $\vect{\text{AB}} =k \vect{\text{AD}}$.

Que peut-on en déduire pour les points A, B et D ?
\item Calculer $d$(A, B), $d$(A, C), $d$(B, C) et $d$(A, D). 

Quelle est la nature des triangles (A, B, C) et (A, C, D) ?
\item Soit $\mathcal{C}$ le cercle circonscrit au triangle (A, C, D).

Déterminer les coordonnées de son centre I.

Calculer son rayon ; le point O est-il situé sur $\mathcal{C}$ ?
\item On désigne par $t$ l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{ABC}}$.

Calculer $\tan t$. En déduire la valeur approchée en degrés de $t$ à un degré près par défaut.
\end{enumerate}
\end{document}