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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Togo juin 1975~\decofourright}}}

\bigskip

\textbf{\large Algèbre}
\end{center}

On donne les fonctions polynômes définies de $\R$ dans $\R$ par 
\[\begin{array}{l c l}
P(x) &=&4x^2 - 8x + 4\\
Q(x) &=&x^2 - x\\
R(x) &=&\left(2x^2 - 3x +2\right)^2 - \left(2x^2 + 3x - 6\right)^2
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Écrire les fonctions polynômes $P,\: Q$ et $R$ sous forme de produits de fonctions polynômes du premier degré au plus.
\item Montrer que la fonction polynôme $Q - P$ peut aussi s'écrire sous forme d'un produit de fonctions polynômes du premier degré au plus.
\item Résoudre dans $\R$ les équations $P(x)  = Q(x)$ et $R(x) = 0$.
\item On considère la fonction rationnelle 
\[F : \left\{  \begin{array}{l c l}
\R&\to \R\\
x&\longmapsto&F(x) = \dfrac{R(x)}{(Q - P)(x)}.
\end{array}\right.\]

Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}$ de cette fonction.

Lorsque $x$ est élément de $\mathcal{D}$ écrire la forme simplifiée de $F(x)$.
\item Dans le plan affine rapporté à un repère \Oij, tracer la représentation graphique de la fonction $F$.

Que doit-on dire des points A et B de coordonnées respectives
\begin{center}A(1~;~16) \qquad et\qquad B$\left(\dfrac43~;~\dfrac{56}{3} \right)$
\end{center}

On prendra
$\left\|\vect{\imath}\right\| = 3$~cm et $\left\|\vect{\jmath}\right\| = 0,5$~cm.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{\large Géométrie}
\end{center}

Soit un plan affine $P$ muni d'un repère orthonormé \Oij.

On dorme trois points A, B et C définis par leurs coordonnées dans le repère choisi :

\begin{center}A$(-1~;~1)$, \qquad B(0~;~3)\quad et \quad C(2~;~4).\end{center}

\begin{enumerate}
\item Faire une figure claire comportant les points A, B, C ainsi que tous ceux définis dans la suite du problème.
\item Déterminer les coordonnées d'un point D du plan, tel que le quadrilatère (A, B, C, D) soit un parallélogramme.
\item Calculer les normes des vecteur $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{BC}}$.

Que peut-on en déduire pour le parallélogramme (A, B, C, D) ?
\item Montrer que les points O, C et D sont alignés.

Montrer que D est le milieu du segment [OC].
\end{enumerate}
\end{document}