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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Togo}
\lfoot{\small juin 1978}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Togo juin 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

Soit l'expression:

\[A = 3(x - 2)^2 - 4 + x^2 + (x + 5)(x - 2).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner l'expression $A$.
\item Mettre $A$ sous forme d'un produit de facteurs du premier degré.
\item Soit la fraction rationnelle 
\[F = \dfrac{5x^2 - 9x - 2}{ 3x^2 - 12}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Pour quelles valeurs de $x$ cette fonction n'a pas de sens ?
		\item Simplifiez-la.
		\item Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $F=0$ et $F=1$ ?
		\item Calculer la valeur numérique de $F$ pour $x = \sqrt 3$.
	\end{enumerate}
\item Dans un système d'axes perpendiculaires, construire les droites $D_1$ et $D_2$ d'équations respectives :
\[y  =5x + 1 \qquad \text{et} \qquad y = 3(x + 2).\]

Quelles sont les coordonnées du point d'intersection I de ces droites?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

Un quadrilatère ABCD est inscrit dans un cercle de centre O et de rayon $R$.

\[\widehat{\text{A}} = \widehat{\text{C}} = 90\degres\:; \quad \text{AB} = \text{AD}\:;\quad \text{et} \quad \widehat{\text{DBC}} = 60\degres.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les angles $\widehat{\text{B}}$ et $\widehat{\text{D}}$ du quadrilatère et ses côtés en fonction de $R$.
\item Les droites AB et CD se coupent en I.

Montrer que les triangles IAD et ICB sont semblables.

Quel est leur rapport de similitude ?
\item Les droites BC et DA se coupent en J.

Calculer la longueur du segment JB et la puissance de J par rapport au cercle.
\item Déterminer le centre E et calculer le rayon du cercle circonscrit au triangle JBD.
\end{enumerate}
\end{document}