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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Toulouse}
\lfoot{\small juin 1978}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Toulouse juin 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

On considère les applications $f$ et $g$ définies dans $\R$ telles que

\[\begin{array}{l c l}
f(x )&=&(1- 3x)^2 - (1- 3x)(2x - 5),\\
g(x)&=&(x - 2)^2 - (4x -3)^2.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous la forme de produits de facteurs du premier degré.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation
\[5(x - 1)(1- 3x) = 0.\]
\item Soit $h$ la fonction rationnelle de $\R$ vers $\R$ définie par

\[h(x) = \dfrac{(1 - 3x)(6 - 5x)}{ 5(x - 1)(1 - 3x)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer son ensemble de définition.
		\item Simplifier $h(x)$.
		\item Calculer $h(0)\:;\: h\left(\dfrac65\right)$.
	\end{enumerate}	
\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $6 - 5 x > 0$, puis l'inéquation $5(x - 1) > 0$.

En déduire le signe de $h(x)$ lorsque $x$ appartient à l'intervalle $\left]1~;~ \dfrac65\right[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

On considère un plan euclidien rapporté à un repère orthonormé \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points 

\begin{center}A(5~;~0),\qquad B(7~;~6),\qquad C(1~;~4),\qquad D$(-1~;~-2)$.\end{center}

Démontrer que le quadruplet (A, B, C, D) est un parallélogramme dont le centre I a pour couple de coordonnées (3~;~2).
\item Démontrer que les vecteurs $\vect{\text{AC}}$ et $\vect{\text{DB}}$ sont orthogonaux.

En déduire que le parallélogramme (A, B, C, D) est un losange.
\item Calculer les coordonnées du point E tel que

\[\vect{\text{AE}} = \vect{\text{AC}} + \vect{\text{AD}}.\]

\item Calculer les distances BI et BC.
\item Soit $\alpha$ l'écart angulaire de l'angle géométrique
$\widehat{\text{CBI}}$.

Calculer $\cos \alpha$. En donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près par défaut sachant que
$2,236 < \sqrt 5 < 2,237$.

Déterminer la valeur de $\alpha$ à un degré près par défaut.
\end{enumerate}
\end{document}