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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Toulouse}
\lfoot{\small juin 1979}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Toulouse juin 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

Une maison d'édition propose à ses clients trois options:

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Option I : $60$ F d'abonnement plus $5$ F par livre acheté;
\item[$\bullet~~$] Option II : $30$ F d'abonnement plus $10$ F par livre acheté;
\item[$\bullet~~$] Option III : $20$ F pour chaque livre acheté sans aucun frais d'abonnement.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une personne a choisi l'option I et achète huit livres dans le courant de l'année. 

Quel est le prix de revient de ces huit livres ? 

Combien aurait-elle payé si elle avait choisi l'option II ? 

Et si elle avait choisi l'option III ?
\item Une autre personne a choisi l'option II et a dépensé $100$~F en tout. 

Combien a-t-elle acheté de livres ? 

A-t-elle eu raison de choisir l'option II ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II}

\medskip

On choisit deux axes perpendiculaires $x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$ avec pour unités 1~cm sur l'axe des abscisses, 1~mm sur l'axe des ordonnées.

Représenter les trois droites $\left(d_1\right)$, $\left(d_2\right)$ et $\left(d_3\right)$ d'équations respectives

\[\begin{array}{l l}
\left(d_1\right) :& y - 5x - 60 = 0,\\
\left(d_2\right) :& y - 10x - 30 = 0,\\
\left(d_3\right) :& y - 20x = 0.
\end{array}\]

Soit $\{\text{A}\} = \left(d_1\right) \cap \left(d_2\right),~ \{\text{B}\} = \left(d_2\right) \cap \left(d_3\right)$ et $\{\text{C}\} = \left(d_1\right) \cap \left(d_3\right)$.

Calculer les coordonnées de chacun des points A, B et C.

\medskip

\textbf{Partie III}

\medskip

En fonction du nombre de livres qu'il va acheter, quelle option conseilleriez-vous à un client ?

Retrouver graphiquement les résultats.

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vect{\text{OI}},~\vect{\text{OJ}}\right)$. 

Placer les points A, B et C définis par leurs coordonnées :

\begin{center} A(7~;~0),\qquad B$(-5~;~5)$ \quad et \quad C(0~;~17).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{OC}}$.
		\item Calculer les distances de A à B, de B à C, de C à A.
		\item Montrer que les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires.
	\end{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du milieu K de (A, C).
\item $\mathcal{G}$ est le cercle de diamètre [AC].

Démontrer que B et O sont éléments de $\mathcal{G}$.
\item On désigne par D le symétrique de B par rapport à K.

Démontrer que (A, B, C, D) est un carré.
\item (L) est la parallèle à (OJ) passant par B ; E désigne le second point commun à (L) et à $\mathcal{G}$.

Montrer que les droites (DE) et (BE) sont perpendiculaires.
\end{enumerate}
\end{document}