\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
%\hypersetup{%
%pdfauthor = {APMEP},
%pdfsubject = {Brevet},
%pdftitle = {Toulouse juin 1983},
%allbordercolors = white,
%pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1983}
\rfoot{\small Toulouse}
\lfoot{\small juin 1983}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Toulouse juin 1983 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère les applications $f$ et $g$, de $\R$
dans $\R$, telles que 

\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&25-9x2\\
g(x)&=&(3x - 5)^2 - 15x + 25.
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Factoriser $f(x)$ et $g(x)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble $S$ des valeurs de $x$ telles que 

\[f(x) = - 56.\]
		
		\item Déterminer l'ensemble $S'$ des valeurs de $x$ telles  que
		
\[f(x) = 50.\]

		\item $t$ étant un réel, comment doit-on-choisir $t$ pour que l'ensemble des valeurs de $x$ vérifiant $f(x) = t$ soit distinct de l'ensemble vide ?
		\item Résoudre, dans $\R$, l'équation $g(x) = 2f(x)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre, dans $\R \times \R$, le système

\[\left\{\begin{array}{l c l}
- 9x + 3y					&=&-15 \\
\phantom{-}2x + \phantom{-}y&=&\phantom{-}10.
\end{array}\right.\]

\item Le plan étant rapporté à un repère orthonormé \Oij, représenter graphiquement les variations des fonctions $h$ et $k$, de $\R$ dans $\R$, telles que

\begin{center}$h(x)=3x - 5$\quad  et \quad $k(x) = - 2x+ 10$.\end{center}

D'après ce graphique, donner les coordonnées du point d'intersection de la droite $D_1$ représentant $h$ avec la droite $D_2$ représentant $k$.
\item Pouvait-on prévoir à la question 1., la réponse de la question 2. ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans le plan euclidien on considère un triangle équilatéral MNP et son cercle circonscrit 
$\mathcal{C}$ de centre O.

Soit : I le milieu de [MN],

\phantom{Soit : }Q le symétrique de P dans la symétrie de centre I,

\phantom{Soit : }R le symétrique de Q dans la symétrie de centre N.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que P, O, I sont alignés.
		\item Démontrer que le quadrilatère MPNQ est un losange.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que la droite (MQ) est tangente au cercle $\mathcal{C}$.
\item Démontrer que le triangle MQR est rectangle.

Calculer $d$(M, R) sachant que $d$(MP) $= a$.
\item Soit $S$ la symétrie orthogonale d'axe (PQ).

Déterminer l'image des droites (MQ) et (MO) dan cette symétrie.

Déduire de ce qui précède que la droite (QR) est tangente à $\mathcal{C}$.
\item Démontrer que les quatre points M, O, N, Q sont sur un cercle dont on précisera le centre.
\end{enumerate}
\end{document}