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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Toulouse juin 1951~\decofourright}}}

\medskip

\end{center}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

On considère le triangle ABC dont les côtés ont pour longueurs 
\begin{center}BC $= 3$ cm,\quad  CA $= 6$ cm,\quad  AB $= 5$ cm.\end{center}

Soit E un point variable du côté [AC].

La parallèle menée à (AB) par E coupe (BC) en D et la parallèle à (BC) menée par E coupe AB en F{}.

On pose AE $= x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le triangle ABC.

Calculer en fonction de $x$ les longueurs AF, DE et BD.
\item Déterminer $x$ de façon que AE = BF{}.

Si E a la position ainsi déterminée, que représente A dans le triangle ABC ?

En déduire une construction géométrique du point E.
\item Quand E décrit le segment [AC], représenter graphiquement, sur un même graphique, les variations de fonctions $y =$ AE, $y=$ BD, $y = $BF{}.

Déterminer, à l'aide de ce graphique, comment il faut choisir $x$ pour que:
	\begin{enumerate}
		\item BF $>$ AE ;
		\item BD $<$ BF $<$ AE ;
		\item DF $<$ BD.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On considère un cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon $R$.

Sur la tangente à ce cercle $\mathcal{C}$ en un point T, on prend un point P tel que TP $= 2 R$.

On mène de P une sécante coupant le cercle $\mathcal{C}$ donné en A et B (A est entre P et B).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer en fonction de $R$ la longueur OP et le produit PA $\times$ PB.
\item On suppose que la sécante (PAB est telle que le point A soit au milieu du segment [PB].

Calculer dans ce cas les longueurs PA et PB et la distance OH de O à la sécante (PAB).

Montrer que le triangle OAB est rectangle.
\item Déduire du 2. une construction à la règle et au compas des deux sécantes (PAB) telles que A soit le milieu de [PB].

Montrer que l'une d'elles passe par le point diamétralement opposé à T sur le cercle $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
\end{document}