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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Toulouse}}
\rfoot{\small{juin 1954}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large \decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Toulouse juin 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On donne l'expression

\[y = (x - 1) (2x + 3)- (2x + 3)^2 + 4x + 6.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer l'expression et l'ordonner suivant les puissances décroissantes de $x$.
\item Mettre l'expression sous la forme d'un produit de facteurs et déterminer les valeurs de $x$ qui annulent ce produit.
\item Calculer la valeur numérique de $y$ pour 
\[x = 0 \quad;\quad  x = - 2 \quad; \quad x = - 1 \quad;\quad  x = - \sqrt 3.\]

Montrer que, pour cette dernière valeur de $x,\: y$ peut être mis sous la forme du produit d'un nombre par un carré.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soient un demi-cercle de centre O, de diamètre [AB] tel que  AB $= 2R$ et un point T de cette circonférence tel que l'angle $\widehat{\text{AOT}} = 120\degres$.

De T on mène la tangente à ce demi-cercle, qui coupe la tangente en A au demi-cercle en M et le diamètre [AB] en C.


\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs MA, MT, MO, MC, BC en fonction de $R$.
\item Le point T étant quelconque, les droites (MA) et (OT) se coupent en D.

Que peut-on dire des droites (MO) et (CD) et des segments [MC] et [MD] ?
\item Démontrer que les triangles MAT et MCD sont semblables.

Évaluer le rapport de leurs aires dans le cas  où $\widehat{\text{AOT}} = 120\degres$.
\end{enumerate}
\end{document}