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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Toulouse}}
\rfoot{\small{juin 1956}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle juin 1956~\decofourright\\[7pt]
Toulouse}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

La route qui relie deux villes A et B comporte, de A vers B, une montée puis une descente également inclinées mais d'inégale longueur.

Un cycliste, dont la vitesse moyenne est, en montée $10$~km à l'heure, en descente $30$~km à l'heure, met 1~h~30~min pour aller de A en B et $2$~h~30~min pour revenir de B en A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la distance des deux villes et la distance de A au point le plus élevé de la route.
\item Écrire les équations horaires correspondant aux différentes phases du mouvement à l'aller et au retour (on comptera les temps à partir de l'instant où le cycliste quitte la ville A pour aller en B).
\item Représenter graphiquement la marche du cycliste à l'aller et au retour.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

La perpendiculaire $\Delta$ en un point H (entre A et O) du diamètre [AB] d'un cercle $(\mathcal{C})$ coupe ce cercle $(\mathcal{C})$ aux points M et N.

Une sécante quelconque mobile menée par A rencontre le cercle $(\mathcal{C})$ en C et la droite $\Delta$ en D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour toute position de la sécante, on a la relation
\begin{center}AC $\cdot$ AD = AB $\cdot$ AH\end{center}
\item Montrer que le quadrilatère HDCB est inscriptible dans un cercle, dont on précisera la position du centre I, et dire sur quelle ligne se déplace le point I lorsque le point C décrit l'arc 
$\widearc{\text{MBN}}$.
\item Dans le cas où $\widehat{\text{BAC}} = 30\degres$ et AH $= \dfrac R2$ calculer,
en fonction de $R$, BC, AC, AD, DH, BD.
\end{enumerate}
\end{document}