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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small Toulouse}
\lhead{\small L'année 1957}
\rfoot{\small }
\lfoot{\small juin 1957}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Toulouse juin 1957 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip

On donne un carré ABCD de $2$~cm de côté.

Par un point M variable de la diagonale [AC], pris entre A et C, on mène les parallèles aux côtés du carré.

Elles coupent en I le côté [AB], en J le côté [BC], en K le côté [CD], en L le côté [DA].

On pose AI $= x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ les aires des quadrilatères MIAL, MJBI, MKJC, MLDK.
\item Calculer le rapport $h$ de l'aire du carré MIAL
à celle de l'hexagone MJBADK, ainsi que le rapport
$k$ de l'aire du carré MKJC à l'aire de l'hexagone MLDCBI.
\item Pour quelle valeur de $x$ les rapports $h$ et $k$ sont-ils égaux ?
\item Calculer la différence $y$ des aires des carrés MIAL et MKJC.

Représenter graphiquement la variation de $y$ en fonction de $x$ quand M se déplace de A à C.

(Pour le graphique l'usage du papier millimétré est autorisé.)
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

On donne dans un plan trois points en ligne droite, A, I, B, placés dans cet ordre.

IA mesure 4~cm; IB, 5 cm.

On désigne par M un point quelconque du plan.

On trace [MA], [MI], [MB].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, si les deux triangles AMI et ABM sont semblables, le point M est sur un cercle fixe $\mathcal{C}$, dont on déterminera le centre et dont on calculera le rayon.
\item Inversement, lorsque le point M est sur le cercle $\mathcal{C}$, les triangles AMI et ABM sont-ils semblables ?
\item Que vaut le rapport $\dfrac{\text{MB}}{\text{MI}}$ lorsque M décrit le cercle $\mathcal{C}$?
\item Construire les points P et Q du cercle $\mathcal{C}$ d'où l'on voit le segment [AB] sous un angle droit.

À quelle distance ces points sont-ils de I ?
\end{enumerate}
\end{document}