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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Toulouse}}
\rfoot{\small{juin 1959}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Toulouse juin 1959}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Une personne achète deux tissus qui coûtent respectivement $6$~NF et $9$~NF le mètre.

Le premier vaut $18$~NF de plus que le second et mesure 7~mètres de plus que lui.

Calculer les longueurs des deux tissus (que l'on représentera par $x$ et $y$).
\item Représenter sur un même graphique les variations des fonctions 
\begin{center}$y = \dfrac23 x - 2$\qquad  et \qquad $y = x - 7.$\end{center}
en représentant une unité par 2~cm.

Déterminer les coordonnées du point d'intersection des deux droites construites, d'abord à l'aide du graphique, puis par le calcul.
\item Comparer les valeurs trouvées dans les deux questions.

Pouviez-vous prévoir ce résultat ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Un trapèze ABCD est rectangle en A et D.

Sa diagonale [AC] est perpendiculaire au côté [BC] et l'on donne les longueurs des bases AB $= 3a$, CD $= a$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer la relation 
\begin{center}AC$^2$ = AB $\cdot$ DC.\end{center} 

En déduire la longueur de la diagonale [AC].
\item Calculer les longueurs CB et AD en fonction de $a$.

Calculer le sinus de l'angle $\widehat{\text{B}}$ du trapèze.
\item Les diagonales [AC] et [BD] se coupent en O.

Calculer le rapport $\dfrac{\text{OC}}{\text{OA}}$.

En déduire la valeur de OC et du rapport $\dfrac{\text{CB}}{\text{OC}}$.

Que représente ce rapport $\dfrac{\text{OC}}{\text{CB}}$ pour l'angle $\widehat{\text{BOC}}$ que
forment les diagonales ?

Quel est leur rapport de similitude ?
\end{enumerate}
\end{document}