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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Toulouse juin 1961~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

\textbf{I}

\medskip

Une personne cherche à louer un appartement. Elle doit choisir entre deux offres.

Dans le premier cas, on lui demande un loyer annuel de \np{1800}~NF.

Dans le deuxième cas, le loyer n'est que \np{1350}~NF mais, exceptionnellement, la première année, cette somme est doublée, en raison des réparations à effectuer.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer quelle doit être la durée minimale du bail pour que la seconde offre soit plus avantageuse que la première.
\item Exprimer en fonction de $x$, nombre d'années d'occupation du logement, la dépense, $y_1$ ou $y_2$, de la locataire dans chacun des cas.

Representer sur un même graphique les fonctions $y_1$ et $y_2$ de $x$.

Retrouver à l'aide de ce graphique le résultat de la question 1.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier l'expression

\[E(x) = \dfrac{\dfrac{x - 2}{x + 2} - \dfrac{x + 2}{x - 2}}{\dfrac{1}{x + 2}- \dfrac{1}{x - 2}}.\]

\item Mettre sous la forme d'un produit de facteurs l'expression

\[P(x) = 144 x - 24x^2 + x^3.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

La diagonale [AC] d'un quadrilatère ABCD est perpendiculaire au côté [BC], la diagonale [BD] perpendiculaire au côté [AD] ; les diagonales se coupent en E.

$a$ et $b$ étant des longueurs données, on a AD $= a$, BC $= b$, AB $= a + b$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Expliquer la construction du quadrilatère ABCO.

Réaliser cette construction d'une manière précise pour $a = 1$ cm et $b = 4$ cm.
\item Démontrer que EA $\times $ EC = EB $\times $ ED.
\item Exprimer les longueurs AC et BD en fonction de $a$ et $b$.
\item En supposant que $b = 4a$, déterminer la valeur des rapports $\dfrac{\text{EB}}{\text{EA}}$ et $\dfrac{\text{EC}}{\text{ED}}$ et exprimer AC et BC à l'aide de EA et EO.
\item $a$ et $b$ ayant les valeurs numériques utilisées pour construire la figure, calculer à $\dfrac{1}{10}$~mm près, les longueurs EB et EC, puis EA et EO.
\end{enumerate}
\end{document}