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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Toulouse juin 1963~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

Soient un axe orienté positivement de $x'$ vers $x$, d'origine A, et les points B, C, D de cet axe ayant respectivement pour abscisse $- \dfrac23,\: + 0,75,\: + 2$.

On appelle M un point quelconque de l'axe, d'abscisse variable, $x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en fonction de $x$,
\[\overline{\text{MA}},\quad , \overline{\text{MB}},\quad \overline{\text{MC}},\quad \overline{\text{MD}}.\]

\item Calculer, en fonction de $x$, les expressions
\begin{center}$y_1 = \overline{\text{MA}} \cdot \overline{\text{MB}} - \overline{\text{MC}} \cdot \overline{\text{MD}}$\\
$y_2 = \overline{\text{MA}} \cdot \overline{\text{MD}} - \overline{\text{MB}} \cdot \overline{\text{MC}}$\end{center}

\item Représenter sur un même graphique les variations des fonctions $y_1$ et $y_2$ de $x$ lorsque M se déplace sur l'axe depuis A jusqu'à D.
\item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $y_1 = y_2$ ?

Le graphique précédent peut-il donner une valeur approchée du nombre ainsi déterminé ?
\item Représenter sur l'axe $x'x$ les points A, B, C, D, ainsi que le point M déterminé par la condition  :

\[\overline{\text{MA}} \cdot \overline{\text{MB}} - \overline{\text{MC}} \cdot \overline{\text{MD}} = \overline{\text{MA}} \cdot \overline{\text{MD}} - \overline{\text{MB}} \cdot \overline{\text{MC}}.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne un triangle ABC et sa médiane [AM] ; on suppose que $\widehat{\text{BAM}} = \widehat{\text{BCA}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles ABM et CBA sont semblables.
\item Etablir la relation BC$^2 = 2$ AB$^2$.
\item Si, dans un triangle ABC, M étant le milieu de [BC], on a BC$^2 = 2$ AB$^2$, les triangles MBA et ABC sont-ils semblables ?
\item Le triangle ABC peut-il être rectangle en C ?

Dans les cas où $\widehat{\text{ABC}}$, puis $\widehat{\text{BAC}}$ valent $90\degres$ , calculer BC,
CA et AM, sachant que 

AB $= \sqrt 2$~cm.
\end{enumerate}
\end{document}