\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Toulouse juin 1965},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Toulouse}}
\rfoot{\small{juin 1965}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Toulouse juin 1965~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip

On pose

\[A(x) = \left(\dfrac12 x^2 +1\right) - \dfrac14\left(x^2 + 2x + 2\right)\left(x^2 - 2x + 2\right).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier le deuxième membre de cette égalité et montrer que $A(x) = x^2$ (reproduire les calculs qui justifient ce résultat).

Déterminer, d'abord, les valeurs de $x$ pour lesquelles $A(x) = \np{7396}$, puis les valeurs de $x$ pour lesquelles $A(x) = 4x$.
\item On pose $y_1 = - \dfrac{2A(x)}{3x}$.

Calculer $y_1$ en fonction de $x$ et simplifier le résultat obtenu.

Tracer le graphique $\left(D_1\right)$ de la fonction $y_1$  par rapport à deux axes de coordonnées rectangulaires $x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$.
\item Par rapport aux mêmes axes, tracer le graphique $\left(D_2\right)$ de la fonction $y_2= \dfrac x2 + 3$.

$\left(D_2\right)$ coupe $x'x$ en A et $y'y$ en B.

Quelles sont les coordonnées du milieu, I, de [AB] ?

$\left(D_2\right)$  coupe $\left(D_1\right)$  en C.

Quelles sont les coordonnées du point C ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

Sur une droite $x'x$ on donne un segment [AC], de longueur $a$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le point B, placé entre A et C, tel que
$\dfrac{\text{BA}}{\text{BC}} = \dfrac72$ (justifier la construction).

Calculer BA et BC en fonction de $a$.
\item Sur la perpendiculaire $y'y$ en C à $x'x$, on choisit arbitrairement un point M et l'on construit le point N de $y'y$ de telle sorte que (BN) soit perpendiculaire à (AM) (on admettra que M et N sont situés de part et d'autre du point C).

Démontrer que les triangles CAM et CBN sont semblables et que le produit CM $\cdot$ CN reste constant quand M et N varient sur $y'y$.

Quelle est la position de B dans le triangle AMN ?
\item Soit I et J les points d'intersection de $x'x$ avec le cercle de diamètre [MN].

Comparer les produits CM $\cdot$ CN et CI $\cdot$ CJ.

Calculer les longueurs CI et CJ en fonction de $a$.

Que peut-on dire des points I et J, quand M et T varient ?
\item Pour une position du point M telle que CM $= \dfrac{4a}{3}$,
calculer AM et les rapports trigonométriques de l'angle $\widehat{\text{CAM}}$.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{N. B.} - La question 4. est indépendante des résultats précédents.
\end{document}