\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B. E. P{}. C.},
pdftitle = {Toulouse juin 1969},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Toulouse}}
\rfoot{\small{juin 1969}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Toulouse juin 1969}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Soit les expressions
\begin{center}$A(x) = \left(x^2 - 9y^2\right)(2x + y)$ \quad et \quad  $B(x) = (x + 3y)\left(4x^2 - y^2\right)$.\end{center}

Simplifier la fraction $F(x) = \dfrac{A(x)}{B(x)}$.

On obtiendra le résultat suivant: $F(x) = \dfrac{x - 3y}{2x - y}$.
\item Calculer $F(x)$ pour
\begin{center}$x = 3, \:y = 0 ;\quad x = 3,\:y = 6\:;\quad  x = 3, \:y = 1.$\end{center}
\item On suppose $y = 0$. Que peut-on dire de $F(x)$ ?

Ce résultat est-il légitime, quel que soit $x$ ?

Résoudre l'équation $F = x^2 - \dfrac{31}{2}$. (on suppose toujours $y = 0$).
\item Déterminer $x$ et $y$ pour que, dans la fraction simplifiée obtenue au 1., le numérateur soit égal à $- 4$ et le dénominateur à $+ 7$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Soit un demi-cercle de centre O, de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$ et le point C milieu de l'arc $\wideparen{\text{AB}}$.

On trace une corde [AD], coupant la droite (BC) en E, telle que l'angle $\widehat{\text{BAD}}$ soit égal à $75\degres$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Expliquer clairement comment on peut construire l'angle $\widehat{\text{BAD}}$ .
\item Déterminer la nature des triangles ABC et OCD et les particularités du triangle ACE.
\item Calculer en fonction de $R$ les longueurs des segments [AC], [AE], [EC] et 5EB].
\item Calculer BD. En déduire la valeur du sinus de $75\degres$.
\end{enumerate}
\end{document}