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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Toulouse juin 1970~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On donne l'expression algébrique
\[E(x) = 2(x - 3) \left(9x^2 - 1\right) - (3x + 1) (4x - 12).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $E(x)$ sous forme d'un produit de facteurs du premier degré.
\item Pour quelles valeurs de la variable cette expression est-elle nulle ?
\item Calculer $E(x)$ pour $x = +2$ et $x = \sqrt 2$.
\item Simplifier l'expression
\[F(x) = \dfrac{E(x)}{(x- 1)\left(2 - \dfrac x3\right)(x - 3)}.\]

Soit $F'(x)$ la fraction obtenue.
\item Pour quelles valeurs de $x$ les deux termes de fraction $F'(x)$ sont-ils tous deux positifs ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit un demi-cercle de diamètre [AB] tel que AB $= 8$~cm et de centre O.

On trace la corde [BC] telle que BC $= 4$~cm.

On trace la droite (AC) qui coupe en P la tangente en B au demi-cercle.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature des triangles COB, ABC et PCB?
\item Calculer AC, AP, BP et CP.
\item On trace en O la perpendiculaire à (AB), qui coupe (AC) en M.

Comparer les triangles AOM et ABC.

Quelles relations entre les côtés de ces deux triangles peut-on en déduire ?
\item Démontrer que le quadrilatère OMCB est inscriptible dans un cercle, dont on précisera le centre.

En déduire que l'on a

\[\overline{\text{AM}} \times \overline{\text{AC}} = \overline{\text{AO}} \times \overline{\text{AB}}.\]

Pouvait-on, dans une question précédente, trouver ce résultat ? Comment ?
\item Calculer le rayon du cercle circonscrit au quadrilatère OMCB.
\end{enumerate}
\end{document}