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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Toulouse}}
\rfoot{\small{juin 1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Toulouse~\decofourright\\[6pt] juin 1971}}\\[6pt]
MATHÉMATIQUES TRADITIONNELLES


\medskip

\textbf{ALGÈBRE} 

\end{center}

Sur un axe orienté $x'x$, d'origine O, on place le point A
d'abscisse $+ 2$, le point B d'abscisse $- 2$, le point C d'abscisse $+ 5$ et un point P d'abscisse variable $x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Évaluer en fonction de $x$ : $\overline{\text{AP}},\: \overline{\text{BP}},\: \overline{\text{CP}}$.
\item Effectuer : $y = \overline{\text{AP}} + \overline{\text{BP}}$ ;
\phantom{Effectuer :} $y' = \overline{\text{BP}} + \overline{\text{CP}}$ ;
\phantom{Effectuer :} $y'' = \overline{\text{AP}} + \overline{\text{BP}} + \overline{\text{CP}}$.
\item Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on :
	\begin{enumerate}
		\item $y = y'$?
		\item $y = y''$ ?
		\item $y' = y''$ ?

et préciser pour chacune d'elles la position correspondante du
point P sur l'axe $x'x$.
	\end{enumerate}
\item Représenter graphiquement les variations des fonctions
$y$, $y'$ et $y''$ quand P décrit le segment [BC] ($- 2 \leqslant x \leqslant + 5$)
et interpréter les résultats précédents (question 3).
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}

\textbf{GÉOMÉTRIE} 

\end{center}

Soit un triangle ABC dont les côtés  mesurent en cm :

AB $= 6$,\: AC $= 8$ et BC $= 10$.

Le cercle de diamètre [AC] et de centre O, coupe (BC) en H.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que (BA) est tangente en A à ce cercle. 
\item Calculer AH, BH et CH.
\item Par un point D de [AC], pris entre A et C et tel CD $= 2$~cm, on mène la perpendiculaire à (AC) qui coupe (HC) en E et le prolongement de [AH] en F.

Comparer les triangles EDC et ADF et en déduire $\text{DA} \cdot \text{DC} = \text{DE} \cdot \text{DF}$.
\item Soient deux points K et K$'$ pris sur la droite (D )tels que
$\text{DK}^2 = \text{DK}'^2 = \text{DE} \cdot \text{DF}$.

Calculer DK (ou DK$'$) et montrer que K et K$'$ sont sur le cercle de diamètre [AC].

(Les questions 3. et 4. sont indépendantes des deux premières.)
\end{enumerate}
\end{document}