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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Toulouse juin 1974~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ l'application de $\R$ dans $\R$ définie par
\[f(x) = 2x^2 - 3x - 5.\]

Calculer $f(0), \: f(- 2), \:f\left(\dfrac72\right)$ et $f\left(2 - \sqrt 5\right)$.

L'application $f$ est-elle bijective ?
\item Montrer que pour tout réel $x$ on a 
\[f(x) = (2x - 5)(x + 1).\]
\item Soit $g$, $h$ et $k$ les applications de $\R$ dans $\R$ définies par :
\begin{description}
\item[ ] $g(x) = 4x^2 - 25$,
\item[ ] $h(x) = 5 - 2x$,
\item[ ] $k(x) = f(x) + g(x) - 2h(x)$.
\end{description}

Factoriser $g(x)$, puis $k(x)$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$.

Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = g(x)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble, $S$, des entiers relatifs $x$ tels que
\[- 1 \leqslant h(x) < 9.\]

On écrira tous les éléments de l'ensemble S.
		\item Représenter graphiquement la fonction $h$ dans un plan muni d'un repère \Oij.
		
Vérifier graphiquement les résultats obtenus à la question précédente.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans un plan euclidien muni d'un repère orthonormé \Oij, on considère les points
\begin{center}A$(-2~;~5)$,\qquad  B$(-1~;~-2)$ \qquad et \quad C(3~;~0).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les distances AB, AC et BC.

Que peut-on en conclure pour le triangle (A, B, C) ?
\item Trouver une équation de la médiatrice de [BC].
\item Calculer les coordonnées du milieu M de (A, B) et du milieu N de (A, C).

Que peut-on dire des vecteurs $\vect{\text{MN}}$ et $\vect{\text{OC}}$ ?
\item On donne $\vect{\text{OD}} = x\vect{\imath} + 6\vect{\jmath}$.

Déterminer le réel $x$ de sorte que les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AD}}$ soient orthogonaux.

Démontrer que D appartient au cercle de centre A et de rayon AB, lorsque $x$ a la valeur ainsi trouvée.
\item Soit E l'image de A dans la translation de vecteur $\vect{\text{OC}}$.

Calculer les coordonnées de E.

Calculer les coordonnées du point d'intersection des droites (AC) et (BE).
\end{enumerate}
\end{document}