\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Toulouse juin 1975},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Toulouse}}
\rfoot{\small{juin 1975}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Toulouse juin 1975~\decofourright}}}
\end{center}

\medskip

\begin{center}\textbf{\large Algèbre}\end{center}

On considère les fonctions polynômes $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$ définies par: 
\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&(2x - 1)^2 (2x - 1)(x - 2)\\
g(x)& =& (3x - 1)^2 - 4(x - 1)^2.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Mettre $f(x)$ et $g(x)$ sous forme de produits de facteurs du premier degré.
		\item Calculer $f(0), \: f\left(\dfrac12\right), \: f(-1)$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = g(x)$.
\item Soit $h$ la fonction rationnelle de $\R$ dans $\R$ définie par:
\[h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer son ensemble de définition $\mathcal{D}$.
		\item Démontrer que pour tout $x$ élément de $\mathcal{D}$
\[h(x) = \dfrac{2x - 1}{5x + 1}.\]

		\item Calculer $h\left(\sqrt 3\right)$.

Donner le résultat sous forme d'un quotient ayant un dénominateur entier.
	\end{enumerate}
\item Soit un plan $P$ muni d'un repère orthonormé \Oij.

(On pourra prendre pour unité 3 cm).

Dans ce repère, $A$ et $B$ sont les représentations graphiques respectives de fonctions $a$ et $b$ de R dans R définies par
\begin{center}$a(x) = 2x - 1$, \quad $b(x) = 5x - 3$.\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point M tel que $A \cap B = \{\text{M}\}$.
		\item Construire $A$ et $B$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{\large Géométrie}\end{center}

Soit un plan $P$ muni d'un repère orthonormé \Oij.

Placer les points
\begin{center}A$(-1~;~4)$, \quad  B(2~;~1), \quad C$(-4~;~-5)$, \quad D$(- 2~;~1)$, \quad E(0~;~1) .\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}},\: \vect{\text{AC}},\: \vect{\text{BC}},\: \vect{\text{AD}}$.
\item Démontrer que les points A, D ,C sont alignés.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{BC}}$ sont orthogonaux.
		\item En déduire la nature du triangle (A, B, C).
	\end{enumerate}
\item  Soit F le point défini par $\vect{\text{OF}} = \vect{\text{OD}} + \dfrac23\vect{\text{AB}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées de F{}. (On trouve $(0~;~-1)$).

Démontrer que les points B, C, F sont alignés.

Placer le point F.
		\item Déterminer l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{EBF}}$ \begin{itemize}
\item en degrés
\item en grades 
\item en radians
\end{itemize}
		\item Démontrer que le triangle (B, F, D) est rectangle isocèle.
	\end{enumerate}	
\item Soit H la projection orthogonale du point B sur la droite (AC).

Démontrer que les points D, F, B, H appartiennent à un cercle dont on précisera le centre.
\end{enumerate}
\end{document}