\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Toulouse juin  1976},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1976}
\rfoot{\small Toulouse}
\lfoot{\small juin 1976}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Toulouse juin 1976 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

On donne les applications polynômes $f$ et $g$ de $\R$ vers $\R$
par
\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&2x^3  + 3x^2 - 9(2x + 3 ),\\
g(x)&=&(2x + 3)^2(2x - 3)^2 - 9(2x + 3)^2
\end{array}\]
\smallskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer $f(x)$ sous forme d'un produit de facteurs du premier degré.
\item Calculer $f(3)$ et $f( - 3)$ ; f est-elle une bijection
(justifier la réponse) ?
\item Exprimer $g(x)$ sous forme d'un produit de facteurs du premier degré.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $(4x)f(x) = g(x)$.
\item Soit $q$ la fonction rationnelle de $\R$ vers $\R$ définie
\[q(x) = \dfrac{(4x)f(x)}{g(x)}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition, $\mathcal{D}$, de $q$.
		\item Montrer que, pour tout $x$ de $\mathcal{D}$,
		\[q (x) = \dfrac{x+3}{2x+3}.\]
	\end{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $q(x)= 1$·
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sachant que $1,4 < /sqrt 2 < 1,5$, quel est le signe du réel $\dfrac12 - \sqrt 2$ ?
		\item Calculer $q\left(\left|\dfrac12 - \sqrt 2\right|\right)$ en exprimant le résultat sous la forme d'un quotient dont le dénominateur est un nombre entier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{N. B. -} On peut écrire indifféremment $(4x)f(x)$, ou $4xf(x)$.

\medskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans un plan euclidien $(Q)$ rapporté à un repère.
orthonormé \Oij, on donne les points
\begin{center}A(4~;~0), \quad B(0~;~4), \quad D$(- 4~;~0)$, \quad H(2~;~0) \quad et \quad  M$\left(2~;~2\sqrt 3\right)$.\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les distances de O respectivement à A, B, D et M et en déduire que ces quatre points sont sur un cercle $(\mathcal{C})$ dont on précisera un diamètre.
\item Placer les points A, B, D, H et M.
\item Montrer que les vecteurs $\vect{\text{AM}}$ et $\vect{\text{DM}}$ sont orthogonaux.
\item Montrer que le triangle (O, M, A) est équilatéral 
\item Calculer la distance de D à M.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère dans $(Q)$ la symétrie orthogonale $S$ par rapport A la droite (MH).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est l'image de O par $S$ ?
\item On désigne par P l'image de D par $S$. Placer P.
\item Montrer que le triangle (D, M, A) et (P, M, O) sont isométriques.
\item En déduire que les distances de P à M et de P à O sont respectivement $4\sqrt 3$ et $8$, et que la droite (MP) est tangente en M au cercle $(\mathcal{C})$.
\item déterminer l'image du cercle $(\mathcal{C})$ par $S$.
\item L'unité étant le degré, soit $u$ l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{HPM}}$.

Déterminer $u$ (on pourra calculer sinus eu
\end{enumerate}
\end{document}