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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Toulouse}
\lfoot{\small juin 1977}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Toulouse juin 1977 \decofourright}}
\end{center}

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

On donne l'application $f$ de $\R$ dans $\R$ définie par :
\[f(x) = (3x - 4)(x - 1) - 3(1 - x)^2 + x^2(4x - 4).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$ suivant les puissances décroissantes de $x$.
\item Ecrire $f(x)$ sous forme d'un produit de trois facteurs du premier degré.
\item Calculer $f\left(\sqrt 3\right)$.
\item Résoudre dans $\R$, $f(x) = 0$.
\item On considère la fonction rationnelle $F$ de $\R$ dans $\R$ définie par:

\[F(x) = \dfrac{4x^3 - 4x^2 - x+ 1}{(5-x)\left(4x^2 - 1\right)}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'ensemble de définition $\mathcal{D}$ de $F$.

Montrer que, pour tout $x$ de $\mathcal{D}$, \: $F(x) = \dfrac{x - 1}{5 - x}$ 
(rendre rationnel le dénominateur du résultat)
		\item Calculer $F(3)$ ;\: $F(1)$ ; \: $F\left(\sqrt 5\right)$ 
du résultat).
		\item Construire, dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, les représentations graphiques $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ des applications $g_1$ et $g_2$ de $\R$ dans $\R$  définies par :
\[g_1(x) = x - 1 ; \qquad g_2(x) = 5 - x.\]

Résoudre graphiquement l'équation $F(x) = 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Dans un plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, placer les points A
B, C donnés par leurs coordonnées:
\begin{center}A$(3~;~-1)$,\qquad  B (2~;~3), \qquad C$(-2~;~2)$\end{center}
\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}},\: \vect{\text{BC}}$ et $\vect{\text{AC}}$.
		\item Calculer les normes des vecteurs $\vect{\text{AB}},\: \vect{\text{BC}}, \: \vect{\text{AC}}$.
		\item Démontrer que le triangle (A, B, C) est isocèle et rectangle.
		\item Soit H la projection orthogonale de B sur (AC).
		
Calculer les distances CH , HA et BH.
		\item $y$ désigne l'écart angulaire exprimé en degrés de l'angle géométrique $\widehat{\text{BCA}}$.
		
Calculer $\sin y$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Construire A$'$ symétrique de A par rapport à B et C$'$ symétrique de C par rapport à B.
		\item Calculer les coordonnées de A$'$ et C$'$.
		\item Démontrer que le quadruplet (C, A, C$'$, A$'$) est un carré.
	\end{enumerate}
\item Soit $(T)$ la parallèle à (BA) passant par C.
	
Soit $(F)$ le cercle de centre B passant par A.

Démontrer que $(F) \cap (T) = \{\text{C}\}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{N. B.} - L'usage des tables n'est pas indispensable.
\end{document}