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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1984}
\rfoot{\small Toulouse}
\lfoot{\small juin 1984}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Toulouse juin 1984 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

%\textbf{Exercice 1}
%
%\medskip
On considère l'application suivante : 

\[\begin{array}{l|l c l}
f : &\R&\to&\R\\
&x&\longmapsto&f(x) = x^2 - 25 - (10x - 1)(x - 5)
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Factoriser $f(x)$.
\item Calculer $f(5)$ puis $f\left(\dfrac23\right)$.
\item Dans un repère orthonormé \Oij, construire les droites $D_1$ et $D_2$ d'équations respectives :

\begin{center}$y = x - 5$ \quad et \quad $y = - 3x + 2$.\end{center}

\item Calculer les coordonnées du point â'intersection M des droites $D_1$ et $D_2$.
\item Résoudre dans $\R$ les inéquations suivantes : 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $\phantom{- 3}x-5 \leqslant 0$ ;
\item[$\bullet~~$] $-3x + 2 \leqslant 0$.
\end{itemize}

En déduire le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $\left[\dfrac23~;~5\right]$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

On considère un triangle rectangle (ABC) d'hypoténuse [BC] tel que : $d$(A,B) $= 4$~cm et 

$d$(B,C) $= 8$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer en degrés la mesure de chacun des angles du triangles (ABC).
\item Calculer $d$(A, C).
\item On désigne par O le milieu de [BC] et par I le milieu de [A C].

Soit D le symétrique de A dans la symétrie de centre O et E le symétrique de O dans la symétrie de centre I.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du quadrilatère (ABCD) ?
		\item Quelle est la nature du quadrilatère (AOCE) ?
	\end{enumerate}
\item Montrer que l'ensemble $\{$A ; B ; D ; C ; E$\}$ admet un axe de symétrie. 
\item Le plan est rapporté au repère $\left(\text{I},~\vect{u},~\vect{v}\right)$ tel que
\[\left\{\begin{array}{l c l}
\vect{\text{IA}}&=&2\sqrt 3 \vect{u}\\
\vect{\text{IO}}&=&2\vect{v}
\end{array}\right.\]

Calculer dans ce repère les coordonnées des points A, O, B, C, D, E.
\end{enumerate}

\textbf{N. B.} On tiendra le plus grand compte de la rigueur des démonstrations.
\end{document}