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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1986}
\rfoot{\small Toulouse}
\lfoot{\small juin 1986}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Toulouse juin 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit $f(x)= - \dfrac14x^2 + \dfrac12x + 2$

\medskip

\begin{enumerate}
\item En indiquant à chaque fois le détail des calculs :
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(- 2)$.
		\item Calculer $f(1)$ et $f\left( -\dfrac27\right)$ en écrivant, pour chacun de ces cas, le résultat sous la forme d'une fraction.
	\end{enumerate}	
\item Au choix:
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f\left(3 + \sqrt 2\right)$ en écrivant le résultat sous
la forme $\dfrac ab + c\sqrt 2$ (où $a, b, c$ seront des entiers) et en indiquant le détail des calculs.
		\item En utilisant une calculatrice, donner, à un millième près, une valeur approchée de $f\left(3 + \sqrt 2\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques }

\bigskip

En laissant les traits de construction visibles ou en indiquant la méthode utilisée, dessiner :

\medskip

\begin{itemize}
\item Un triangle ABC tel que BC $= 7,5$ cm ; AB $= 9$ cm ; AC $= 6$ cm.
\item La bissectrice de $\widehat{\text{BAC}}$ et le point E où elle coupe le segment [BC].
\item Le point D tel que $\vect{\text{AD}} = \vect{\text{AB}} + \vect{\text{AC}}$.
\item Le point L tel que $\vect{\text{DL}} = 2\vect{\text{CA}}$.
\item Le point K tel que $\vect{\text{CK}} = \vect{\text{DB}} + \dfrac52\vect{\text{CE}}$.
\end{itemize}

\bigskip

\textbf{Problème}

\bigskip

Le candidat devra traiter obligatoirement l'un des deux problèmes suivants : problème 1  ou bien problème 2.

\bigskip

\textbf{Problème 1}

\medskip

Dessiner un triangle ALI tel que 
\begin{center} $\widehat{\text{LAI}} = 90\degres$ \:;\quad  AI $= 2$~cm\: ; AL $= 3$~cm.\end{center}

Soit D le symétrique de L par rapport à I.

Tracer le cercle qui a pour diamètre le segment [AD].

Ce cercle recoupe la droite (AL) en un point que l'on désignera par E.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les droites (AI) et (DE) sont parallèles.

\item Calculer les longueurs EA et ED, puis AD.
\item Soit G le point commun à deux médianes du triangle LED.

Calculer AG.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème 2}

\medskip

On se propose de représenter sur un demi-disque la répartition du trafic ferroviaire en France.

Le schéma suivant est donné à titre indicatif. Les mesures des angles ne correspondent pas à l'exercice proposé ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.6,0)(2.6,2.6)
\psline(-2.6,0)(2.6,0)
\psarc(0,0){2.6}{0}{180}
\psline(2.6;48)\psline(2.6;96)\psline(2.6;118)
\rput{24}(1.4;24){Banlieue}
\rput{72}(1.4;72){Express}
\rput{107}(1.4;107){Régionaux}
\rput{149}(1.4;149){Marchandises}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 

Compléter le tableau suivant dans lequel les mesures des angles sont proportionnelles aux nombres de trains.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Catégories de trains&Nombre de trains&\footnotesize Pourcentage par rapport au nombre total de trains&Mesure de l'angle en degré\\ \hline
Banlieue	&\np{5200}	&40	&72\\
Express		&\np{1300}	&	&\\
Régionaux	&			&20	&\\
Marchandises&			&	&54\\
Total		&\np{13000}	&	&180\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Représenter sur un demi-disque de diamètre $8$~cm la situation décrite dans le tableau précédent que vous venez de compléter.
\end{enumerate}
\end{document}