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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Toulouse }}
\rfoot{\small{octobre 1957}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle octobre 1957~\decofourright\\[7pt]
Toulouse }}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

$x, y, z$ représentant trois nombres positifs diffé

rents, on considère les trois expressions suivantes: 
\[\begin{array}{l c l}
A &=& z\left(x^2 + y^2\right),\\
B &=& 2xyz,\\
C &=& z\left(x^2 - y^2\right).
\end{array}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Prouver que, quelles que soient les valeurs données à $x, y, z$, la valeur numérique de $A$ est supérieure à celle de $B$ et à celle de $C$.
\item Calculer $B^2 + C^2$. 

De quel polynôme le résultat obtenu est-il le carré ?

\item Calculer $x$ et $y$, sachant que $z= 1$, $B= 8$ et $C= 15.$


\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne sur une droite $D$ trois points A, C, B placés dans cet ordre.

AC = 2 cm, CB = 4 cm.

On donne également un angle aigu $x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire sur [AC] et sur [CB], du même côté de D, les arcs capables de l'angle $x$.
\item I étant le centre du cercle qui porte le premier arc, J le centre du cercle qui porte le deuxième arc, comparer les triangles AIC et CJB.
\item Joindre aux points A et B le point M commun aux deux arcs de cercle qui n'est pas C.

Que vaut le rapport $\dfrac{\text{MA}}{\text{MB}}$ ?

On aura intérêt à tracer [MC].
\item On trace la tangente commune aux deux arcs.

Elle touche le premier en T, le second en U.

La droite (IJ) coupe la droite $D$ en S et la tangente commune
 en S$'$.
 
 Que valent les rapports $\dfrac{\text{SI}}{\text{SJ}}$ et $\dfrac{\text{S}'\text{I}}{\text{S}'\text{J}}$ ?

Conclusion.
\end{enumerate}
\end{document}