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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Toulouse juin 1955~\decofourright\\[7pt]Enseignement long et enseignement court}}}
\end{center}

\smallskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer en un produit de facteurs
\[\begin{array}{l c l}
A&=& (2x-1) (x- 3)- (3 - x)(4x + 5),\\
 B&=& (5x - 2)^2 - 4(2 - x)^2.
 \end{array}\]


Simplifier la fonction $\dfrac AB$.

\item Résoudre les équations $A = 0,\quad B = 0$.
\item Résoudre le système 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
y &=& x - 3,\\
y &=& 7x - 6.
\end{array}\right.\]

\item Représentation graphique des fonctions
\begin{center}$y = x -3,\qquad  y = 7x - 6$\end{center}
et vérification du 3.
\item Aire du triangle limité par les deux droites précédentes et l'axe $y'y$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

Aux extrémités, A et B, du diamètre d'un demi-cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon $R$, on mène les tangentes, A$x$ et B$y$, du côté du demi-cercle.

Par un point M quelconque de A$x$, on trace la tangente  (MP) au demi-cercle, qui coupe B$y$ en N.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les deux triangles MON et APB sont rectangles et semblables.

Pour quelle valeur de AM sont-ils égaux ?
\item Montrer que 
\begin{center}AM $\times$ BN = R$^2$.\end{center}
\item Dans le cas où AM $= \dfrac R2$, trouver le rapport
des aires des triangles MON et APB.
\item (ON) coupe (PB) en H.

Lieu de H lorsque P décrit le demi-cercle $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
\end{document}