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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Toulouse}}
\rfoot{\small{septembre 1959}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle septembre 1959~\decofourright\\[7pt]
Toulouse}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip
%\medskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier la fraction rationnelle
\[A(x) = \dfrac{(2x - 1)^2 - (6x + 7)^2}{(x + 2)(x + 3) - 4(x + 2)^2}.\]

\item Calculer les valeurs numériques de $A(x)$ de la fraction rationnelle obtenue après simplification de $A(x)$, pour $x = 1$ et pour $x = - 2$.

Pouvez-vous expliquer les résultats obtenus ?
\item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $A(x) = 0$ ?

Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $A(x) = 8$ ?
\item Simplifier l'expression numérique obtenue lorsque dans $A(x)$ on remplace $x$ par $\sqrt 3$.
\end{enumerate}

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un cercle de centre O et de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$, ainsi qu'un point P sur la tangente en A à ce cercle.

De P, on mène l'autre tangente, qui touche le cercle en T et coupe la droite (AB) en un point C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Évaluer en fonction du rayon $R$ la longueur des segments [PA], [PT], [PO], [OC] dans le cas où l'angle $\widehat{\text{APT}}$ est égal à $60\degres$.
\item L'angle $\widehat{\text{APT}}$ étant quelconque, on trace la droite (OT) qui coupe (AP) en un point D.

Démontrer que les droites (PO) et (CD) sont perpendiculaires.

Quelle propriété possède le triangle PCD ?
\item Calculer le rapport de similitude des triangles PAT et PCD en fonction de $R$ et de OC, dans le cas où l'angle $\widehat{\text{APT}}$ est quelconque.

Que devient ce rapport dans le cas où $\widehat{\text{APT}} = 60\degres$ ?
\end{enumerate}
\end{document}