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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1964}
\rfoot{\small Toulouse}
\lfoot{\small septembre 1964}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Toulouse septembre 1964 \decofourright}}
\\[8pt]\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\medskip

Soient les expression :
\[\begin{array}{l c l}
A&=&(x- 1)^2 + (3 - 3x),\\
B&=&(3x - 5)^2 - (2x - 1)^2.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les valeurs numériques de $A$ et $B$ pour $x = - 1$. 

Mêmes questions pour $x = + \dfrac12$.
\item Développer $A$ et $B$ et les mettre sous la forme de polynômes ordonnés et réduits.
\item Mettre $A$ et $B$ sous la forme de produits de facteurs du premier degré.
\item En utilisant les résultats du 3., simplifier 
\[\dfrac{(3x- 5)^2 - (2x- 1)^2}{(x- 1)^2 + (3 - 3x)}\]

puis effectuer
\[\dfrac{1}{(x - 1)^2 + (3 - 3x)}  + \dfrac{1}{(3x- 5)^2 - (2x- 1)^2}.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soient un demi-cercle $(\mathcal{C})$, de diamètre [AB] tel que AB $= 6$~cm, de centre O, el la demi-droite [B$x$) tangente en B au demi-cercle (du même côté que le demi-cercle par rapport à (AB)).

Soit M un point quelconque de [B$x$). Le cercle $(\mathcal{R})$ de diamètre [BM] et de centre I recoupe le demi-cercle $(\mathcal{C})$ en D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les points A, D, M sont alignés.

Que peut-on dire des droites (DO) et (DI) ?
\item Une droite quelconque passant par I coupe le
demi-cercle $(\mathcal{C})$ en E et F{}.

Démontrer la relation  : $\overline{\text{IE}} \times \overline{\text{IF}} = \text{IB}^2$.
\item On suppose, dans cette question 3. seulement, que le segment AD est tel que AD~$=~4,8$~cm.

Calculer alors la longueur des segments [DB] et [BM], ainsi que le sinus de l'angle $\widehat{\text{DAB}}$.
\item On suppose maintenant que l'angle $\widehat{\text{DAB}}$  a pour mesure $30\degres$.

Calculer dans ce cas la longueur des segments [DB], [DM] et [BM].
\end{enumerate}
\end{document}