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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Toulouse\footnote{Bordeaux} septembre 1965~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne l'expression

\[E(x) = (4x + 1)^2 - (4x + 1)(4x - 1) -(6x + 5).\]

Effectuer et réduire le second membre.
\item Représenter graphiquement les variations des  fonctions
\begin{center} $y = 2x - 3 $\qquad et \qquad $y = - \dfrac13 x +  4$\end{center}

Calculer les coordonnées du point d'intersection, A, des deux droites ainsi obtenues.
\item Quelle est la fonction dont la droite OA est la représentation graphique ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On donne un cercle de diamètre [AB] et de rayon $R$.

Soit (BT) la tangente en B au cercle.

\smallskip

\begin{enumerate}
\item O étant le centre du cercle et D le milieu segment [O], déterminer le point C de la droite tel que

\[\overline{\text{AD}} \cdot \overline{\text{AD}} = 4 R^2.\]

\item On trace par A une sécante coupant le en M et la tangente (BT) en N.

Comparer les triangles AMB et ABN.

Évaluer le produit $\overline{\text{AM}} \cdot \overline{\text{AN}}$ en fonction de $R$.
\item On trace par A une deuxième sécante, coupant le cercle en M$'$ et la tangente (BT) en N$'$.

Comparer les produits $\overline{\text{AM}} \cdot \overline{\text{AN}}$ et $\overline{\text{AM}'} \cdot \overline{\text{AN}'}$.

Que peut-on dire des triangles AMM$'$ etAN$'$N ?

Le quadrilatère MNN$'$M$'$ est-il inscriptible ? Pourquoi ?
\item On suppose, dans cette question, que MM$'$ passe par D.

Montrer que, dans ce cas, on a les égalités d'angles suivantes :

\[\widehat{\text{ACN}} = \widehat{\text{AMD}} = \widehat{\text{AN}'\text{B}}.\]
(on pourra comparer les triangles AMD et ACN)

En  quel point le cercle circonscrit au triangle ANN$'$
recoupe-t-il la droite (AB) ? Pourquoi ?
\end{enumerate}
\end{document}