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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Toulouse}}
\rfoot{\small{juin 1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Toulouse~\decofourright\\[6pt] septembre 1971}\\[6pt]
MATHÉMATIQUES TRADITIONNELLES}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre les expressions :

\[\begin{array}{l c l}
A(x)& =& x^2 - 16 - (3x + 1)(x - 4)\\
B(x) &=& x^2 - 8x + 16
\end{array}\]

sous forme de produits de facteurs du premier degré.
\item Simplifier la fraction :

\[y = \dfrac{A(x)}{B(x)}.\]

\item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $y = 0$ ?

 Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $y = 3$ ?
\item Pour quelles valeurs de $x $ a-t-on $y > 0$ ?
\item On appelle $y_1$ et $y_2$, les termes de la fraction $y$ simplifiée ; $y_1$ et $y_2$ sont des fonctions de $x$.

Construire, dans un même système d'axes orthonormés, les représentations graphiques de ces deux fonctions.

Calculer les coordonnées de leur point d'intersection P.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center}

\medskip

Soit un triangle OAB rectangle en A dont l'angle $\widehat{\text{AOB}}$ vaut $60\degres$ et tel que OA $= a$. 

Sur le prolongement au-delà de A on prend un point C tel que OC $= 3a$.

De C on trace la perpendiculaire (CD) à (OB).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer en fonction de $a$ la mesure des segments [OB], [AB].
\item Comparer les triangles OAB et ODC et évaluer le rapport $\dfrac{\text{OA}}{\text{OD}}$. 

Calculer OD, CD, DB en fonction de $a$.
\item Montrer que le quadrilatère convexe ADBC est inscriptible dans un cercle dont on précisera le centre I et la valeur de son rayon en fonction de $a$.
\item Calculer, à $0,001$ près, le sinus et la tangente de l'angle $\widehat{\text{DCB}}$.
\end{enumerate}
\end{document}