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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Toulouse septembre 1972~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

Soit les expressions
\[\begin{array}{l c l}
A(x)&=&\left[\dfrac{x- 1}{x + 2} - \dfrac{x-3}{x + 2} + 3\right]
\left(x^2 - 4\right),\:\text{et}\\
B(x)&=&\left(x^2 - 2x + 1\right) + (x - 1)(2x + 9).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Donner le domaine de définition de l'expression $A(x)$, puis simplifier l'expression sur ce domaine.
\item Mettre $B(x)$ sous forme d'un produit de deux facteurs du premier degré.
\item Soit la fraction rationnelle $\dfrac{A(x)}{B(x)}$.

Donner son domaine de définition.

Simplifier cette fraction sur ce domaine.

Existe-t-il des valeurs de $x$ telles que l'on ait 
\begin{center}$\dfrac{A(x)}{B(x)} = 1$, \qquad $\dfrac{A(x)}{B(x)} = 2$\qquad et \qquad $\dfrac{A(x)}{B(x)} = \sqrt 2$.\end{center}

\item Tracer dans un repère orthonormé les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ d'équations respectives 
\begin{center}$y =  x - 2$\quad  et $y = 3x + 8$.\end{center}

Déterminer graphiquement les coordonnées de leur point d'intersection, K.

Vérifier ces résultats par le calcul.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On donne un demi-cercle de centre O et de diamètre [AB] tel  que 
AB $= 2R$ et le point C du segment [AB] tel que
AC $= \dfrac{4R}{3}$.

La perpendiculaire en C à (AB) coupe le demi-cercle en D.

La perpendiculaire à (AD) passant par O coupe (CD) en E et (AD) en H.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle (ADB) ?

Calculer la longueur de [CD], [ADJ, [BD] et [OH] en fonction de $R$.
\item Démontrer que (AE) est perpendiculaire à (OD).

Démontrer que le quadrilatère (ACEH) est inscriptible.
\item Démontrer que le quadrilatère (OCDH) est inscriptible dans un cercle, de centre I, dont un calculera le rayon.

Démontrer que (IH) est parallèle à (BC).
\item Comparer les triangles (OCE) el (OHA).

En déduire les longueurs de [OE) et [CE], en fonction de $R$.
\end{enumerate}
\end{document}