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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Toulouse septembre1974~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

Soit $f$ et $g$ les fonctions polynômes de $\R$ vers $\R$ définies par

\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=& (x - 4)(2x + 1) + \left(x^2 - 8x + 16\right)\:\text{et}\\
g(x) &=&(2x + 3)^2 - (x + 4)^2.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $f(x)$ et $g(x)$ sous forme de produits de facteurs du premier degré.
\item Soit $F$ la fonction rationnelle de $\R$ vers $\R$ définie par
\[F(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]

Déterminer le domaine de définition de la fonction $F$, puis simplifier $F(x)$ sur ce domaine.
\item Construire dans un plan rapporté à un repère orthonormé \Oij{} les représentations graphiques $(D)$ et $(D')$ des fonctions affines $h$ et $h'$ définies par 
\begin{center}$h(x) = x - 4$\quad  et \quad $h'(x)= 3x + 7$.\end{center}
\item Calculer les coordonnées du point d'intersection, I, de $(D)$ avec $(D')$.

Montrer que l'on peut en déduire le réel $x$, tel que $F(x) = 3$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans un plan euclidien muni d'un repère orthonormé \Oij{} on donne quatre points A, B, C et D dont les coordonnées dans ce repère sont
\begin{center}A$(-1~;~1)$, \quad B(3~;~3), \quad C$(1~;~-3)$\quad  et \quad D$\left(\dfrac12~;~3\right)$.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle.
\item Soit I le milieu de [BC].
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point I.
		\item Montrer que les vecteurs $\vect{\text{DI}}$ et $\vect{\text{AB}}$ sont
orthogonaux.
		\item Montrer que la droite (DI) est la médiatrice de [AB]
	\end{enumerate}
\item Soit K le point d'intersection des droites (DI) et (AB) et soit J le milieu de [AC].
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que (A, K, I, J) est un carré.
		\item Montrer que les points A, K, 1 et J sont sur un même cercle, dont on précisera le centre et le rayon.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}